Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

( a ) Mostre que x = 0 é um ponto singular regular da equação de Bessel

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - ν 2 y = 0

( ν é uma constante não negativa.)

( b ) No caso ν = 1 (equação de Bessel de ordem 1), usando a teoria, dê a forma de duas soluções linearmente independentes no intervalo ( 0 , ∞ ) . (Não precisa calcular.)

( c ) Só também usando a teoria (sem fazer cálculos) ou o item b), justifique que a equação de Bessel de ordem 1 ( ν = 1 ) tem uma solução dada por uma série de potências e convergente em toda a reta (com raio de convergência infinito).

Passo 1

( a ) Como a equação diferencial está na forma

P ( x ) y ' ' + Q ( x ) y ' + R ( x ) y = 0

identificamos: P x = x 2 .

Assim, os pontos singulares são dados por P x = 0 . Logo: x 2 = 0 → x = 0 .

Passo 2

Agora olhamos para

x - x 0   Q ( x ) P ( x ) = x . x x 2 = 1

x - x 0 2   R ( x ) P ( x ) = x 2 x 2 - ν 2 x 2 = x 2 - ν 2  

E vemos que ambas as funções são analíticas para todo x . Logo, os limites quando x → x 0 existem e são finitos:

p 0 = lim x → 0 ⁡   1 = 1

q 0 = lim x → 0 ⁡   x 2 - ν 2 = - ν 2

Portanto, x 0 = 0 é um ponto singular regular.

Passo 3

( b ) No caso em que ν = 1 :

p 0 = 1

q 0 = - 1

Assim, a equação indicial (para a equação de Bessel de ordem 1) é dada por

F r = r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

r r - 1 + r - 1 = 0

r 2 - 1 = 0

r 1 = 1 ; r 2 = - 1

Passo 4

Então, como a diferença entre as duas raízes é r 1 - r 2 = 2 (um número natural) e x 0 = 0 é um ponto singular regular, o Teorema de Frobenius indica que a equação de Bessel de ordem 1 tem duas soluções L I , no intervalo x ∈ ( 0 , ∞ ) :

y 1 = x r 1 1 + ∑ n = 1 ∞ a n x n = x 1 + ∑ n = 1 ∞ a n x n

y 2 = C   y 1 ln ⁡ x + x r 2 ∑ n = 1 ∞ b n x n = C   y 1 ln ⁡ x + x - 1 ∑ n = 1 ∞ b n x n

Passo 5

( c ) Como vimos que p 0 e q 0 são analíticas para todo x , o raio de convergência de ambos é infinito. Assim, pelo menos a solução y 1 da equação também terá raio de convergência infinito; isto é, valerá para todo x ∈ R .

Resposta

( a ) x 0 = 0 é um ponto singular regular.

( b ) y 1 = x 1 + ∑ n = 1 ∞ a n x n ; y 2 = C   y 1 ln ⁡ x + x - 1 ∑ n = 1 ∞ b n x n

( c ) R = ∞ para y 1 .

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