Considere a equação de Chebyshev:
a) Mostre que é ponto singular regular
b) Determine as raízes da equação indicial no ponto
c) Determine a fórmula de recorrência para os coeficientes da série de potências em torno de da solução que corresponde à maior das duas raízes da equação indicial
d) Determine os primeiros termos não nulos da solução encontrada no item e que, além disso, satisfaz
Passo 1
a)
Para mostrar que é um ponto singular regular temos que
E que os limites abaixo devem existir e serem finitos.
Lembrando que nessa nossa equação
Conferindo as condições temos.
Logo é de fato um ponto singular regular.
Passo 2
b)
Para encontrarmos as raízes da equação indicial antes temos que supor uma solução por série de potências, mas a nossa EDO não está centrada em 0 e sim em 1. Vamos resolver isso com uma mudança de variável.
Assim a nossa EDO será.
Agora podemos usar aquela formula para a equação indicial.
onde
Lembrando que nessa nova equação.
Calculando os limites
Logo a nossa equação indicial será.
Passo 3
c)
Agora podemos supor uma solução por série de potencias do jeito que estamos acostumados.
Passo 4
Substituindo a solução na EDO.
Agora pra gente agrupar esses somatórios temos que deixar todos em função de
Temos que também colocar todos os nosso somatórios começando no mesmo , nesse caso .
Sendo assim a nossa EDO vai ficar.
Agrupando o somatório teremos
Assim a nossa relação será
Passo 5
b)
Voltando agora para , vamos ter
Temos
Podemos tirar esse
Passo 6
d)
Vamos olhar aquele limite primeiro
Podemos perceber que esse limite que ele pediu vai sempre ser satisfeito se tirarmos o como fizemos ali em cima. Isso significa fazer
Ele quer os primeiro não nulos.
Resposta
b)
c)
d)
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