Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

Considere a equação diferencial ordinária:

2 x 2 y ' ' + 3 x y ' + 2 x 2 - 1 y = 0

  1. Demonstre que x=0 é um ponto singular regular dessa equação.
  2. Determine as raízes da equação indicial da equação diferencial.
  3. Determine a relação de recorrência para os coeficientes da série de potência em torno de x=0 da solução y(x) que corresponde à maior das duas raízes da equação indicial.

Passo 1

Letra a)

De acordo com a teoria, um ponto x 0 é singular quando P x 0 = 0 . Então vamos ver quem é esse nosso P x .

A equação geral da EDO Linear homogênea é essa daqui:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Vamos comparar nossa equação com a geral:

2 x 2 y ' ' + 3 x y ' + 2 x 2 - 1 y = 0

Nós teremos:

P x = 2 x ²

Q x = 3 x

R x = ( 2 x ² - 1 )

Pro nosso P x = 0 o nosso x tem que ser 0, logo:

P x 0 = 0

Então esse ponto que a questão nos sugeriu é um ponto singular.

Passo 2

Agora vamos ver se ele é regular ou não:

Pra ser regular temos que esses dois limites devem existir e serem finitos:

l i m x → x 0 ( x - x 0 ) Q ( x ) P ( x )         e         l i m x → x 0 ( x - x 0 ) ² R ( x ) P ( x )

Como o nosso x 0 = 0 , ficamos com:

l i m x → 0 x Q ( x ) P ( x )       e       l i m x → 0 x ² R ( x ) P ( x )

q x = x Q ( x ) P ( x ) = 3 2

r x = x ² R ( x ) P ( x ) = 2 x 4 - x ² 2 x ² = x 2 - 1 2

Calculando o limite de q x   e   r x :

l i m x → 0 x Q ( x ) P ( x ) = 3 2

l i m x → 0 x ² R ( x ) P ( x ) = - 1 2

Como ambos limites existem e são finitos, dizemos que x 0 = 0 é um ponto singular e regular.

Passo 3

Letra b)

A equação inicial é dada por:

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

onde

p 0 = l i m x → x 0 x - x 0 Q x P x = 3 2

q 0 = l i m x → x 0 ( x - x 0 ) ² R ( x ) P ( x ) = - 1 2

Assim, nossa equação fica:

r r - 1 + 3 2 r - 1 2 = 0

r 2 + - r + 3 2 r - 1 2 = 0

r 2 + 1 2 r - 1 2 = 0

r r + 1 2 = 1 2

Pra resolver essa equação:

r = - 1               o u             r = 1 2

Passo 4

Letra c)

Então, vamos encontrar a solução em série dessa equação aqui:

2 x 2 y ' ' + 3 x y ' + 2 x 2 - 1 y = 0

De acordo com a nossa teoria:

y = ∑ n = 0 ∞ a n ( x - x 0 ) n + r

Tomando a maior raiz achada no item anterior, teremos:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 2

Se essa série é solução, então ela satisfaz a nossa EDO. Logo, precisamos substituí-la e buscarmos a relação que encontre os termos a n (a nossa relação de recorrência). Para isso, vamos ter que calcular as derivadas de y:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 2

y ' = ∑ n = 0 ∞ n + 1 2 a n x n + 1 2 - 1 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 2 ) a n x n - 1 2

y ' ' = ∑ n = 0 ∞ n + 1 2 n - 1 2 a n x n - 1 2 - 1 = ∑ n = 0 ∞ n + 1 2 n - 1 2 a n x n - 3 2

Substituindo na EDO:

2 x 2 ∑ n = 2 ∞ n + 1 2 n - 1 2 a n x n - 3 2 + 3 x ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 2 ) a n x n - 1 2 + 2 x 2 - 1 ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 2 = 0

Simplificando, passando o x para dentro do somatório:

∑ n = 0 ∞ 2 n + 1 2 n - 1 2 a n x n + 1 2 + ∑ n = 0 ∞ 3 ( n + 1 2 ) a n x n + 1 2 + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n + 5 2 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 2 = 0

Agora vamos juntar o que tem a mesma potência no x:

∑ n = 0 ∞ 2 n + 1 2 n - 1 2 + 3 n + 1 2 - 1 a n x n + 1 2 + ∑ n = 0 ∞ 2 a n x n + 5 2 = 0

Vamos colocar todo mundo no mesmo expoente, fazendo:

m + 2 = n

∑ m = 0 ∞ 2 m + 2 + 1 2 m + 2 - 1 2 + 3 m + 2 + 1 2 - 1 a m x m + 1 2 + ∑ m = 0 ∞ 2 a m x m + 2 + 5 2 = 0

Quando m = 0 , n = 2

∑ n = 0 ∞ 2 n + 1 2 n - 1 2 + 3 n + 1 2 - 1 a n x n + 1 2 + ∑ n = 2 ∞ 2 a n - 2 x n + 1 2 = 0

Juntando os dois somatórios, ficamos com:

∑ n = 0 ∞ 2 n + 1 2 n - 1 2 + 3 n + 1 2 - 1 a n x n + 1 2 + 2 a n - 2 x n + 1 2 = 0

∑ n = 0 ∞ 2 n + 1 2 n - 1 2 + 3 n + 1 2 - 1 a n + 2 a n - 2 x n + 1 2

Nós devemos ter:

2 n + 1 2 n - 1 2 + 3 n + 1 2 - 1 a n + 2 a n - 2 = 0

2 n + 1 2 n - 1 2 + 3 n + 1 2 - 1 a n = - 2 a n - 2

a n = - 2 a n - 2 2 n + 1 2 n - 1 2 + 3 n + 1 2 - 1

Para a n ≥ 2   e   a 1 = 0 ;

Resposta

Letra a) x = 0 é um ponto singular regular.

Letra b)   r = - 1               o u             r = 1 2

Letra c) a n = - 2 a n - 2 2 n + 1 2 n - 1 2 + 3 n + 1 2 - 1 para a n ≥ 2   e   a 1 = 0 ;

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