Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Singular Regular

UNICAMP - Cálculo 3 - Exame 2013 - 4

Considere a equação

6 x 2 y ' ' + 7 x y ' - x 2 + 2 y = 0

( a ) Justifique que as funções

p x = 7 6 x           e             q x = - x 2 + 2 6 x 2

são analíticas em x 0 = 2 e conclua que x 0 = 2 é ponto ordinário.

( b ) Mostre que os raios de convergência das séries de Taylor de p e q em torno de x 0 = 2 é igual a 2 .

( c ) Mostre que x 0 = 0 não é um ponto ordinário mas é um ponto singular regular.

( d ) Determine a equação indicial em x 0 = 0 , calcule suas raízes, e dê a forma de duas soluções linearmente independentes em série de Frobenius, em torno de x 0 = 0 .

Passo 1

( a ) Ambas as funções são racionais e seus denominadores só se anulam em x = 0 , isto é, não se anulam em x 0 = 2 . Logo, p ( x ) e q ( x ) são analíticas em x 0 = 2 .

Por definição, verificamos que x 0 = 2 é de fato um ponto ordinário da equação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

( b ) Pela teoria, quando temos uma função racional com denominador não se anulando em x 0 , a série de potências em torno de x 0 tem raio de convergência igual a menor distância de x 0 às raízes do denominador.

Como a única raiz do denominador é 0 , temos que os raios de convergência são iguais em ambos os casos e R = x 0 - 0 = 2 - 0 = 2 .

Passo 3

( c ) A equação pode ser reescrita assim:

6 x 2 y ' ' + 7 x y ' - x 2 + 2 y = 0

y ' ' + 7 6 x p ( x ) y ' - x 2 + 2 6 x 2 q ( x ) y = 0

E como x = 0 é o único ponto que anula o termo 6 x 2 , ele é um ponto singular.

Passo 4

Agora, vemos o seguinte:

x p x = 7 6

x 2 q x = - x 2 + 2 6 = - 1 3 - x 2 6

Como ambas as funções acima são analíticas em todos os pontos, concluímos que x 0 = 0 é um ponto singular regular.

Passo 5

( d ) A equação indicial é dada por

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

onde

lim x 0 x p x = l i m x 0 7 6 = 7 6

lim x 0 x 2 q x = l i m x 0 - x 2 + 2 6 = - 1 3

Assim, obtemos:

r 2 - r + 7 6 r - 1 3 = 0

r 2 + 1 6 r - 1 3 = 0

E as soluções:

r = - 1 6 ± 1 36 + 4 3 2

r = - 1 6 ± 49 36 2

r = - 1 6 ± 7 6 2

r = - 1 ± 7 12 r 1 = 1 / 2 r 2 = - 2 / 3

Passo 6

Desta forma, as soluções linearmente independentes são dadas por

y 1 = x 1 2 1 + n = 1 a n x n ,   x > 0

ou

y 1 = | x | 1 2 1 + n = 1 a n x n ,   x 0

Para y 2 :

y 2 = x - 2 3 1 + n = 1 b n x n ,   x > 0

ou

y 2 = | x | - 2 3 1 + n = 1 b n x n ,   x 0

Resposta

( d ) y 1 = | x | 1 2 1 + n = 1 a n x n ,   x 0 ; y 2 = | x | - 2 3 1 + n = 1 b n x n ,   x 0 .

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