Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

Considere a equação

3 x 2 y ' ' + 5 x y ' + x 2 - 1 y = 0

a) Mostre que 0 é ponto singular regular dessa equação

b) Determine as raízes da equação indicial dessa equação

c) Determine a relação de recorrência para os coeficientes da série de potências em torno de x = 0 da solução y x que corresponde à menor das duas raízes da equação indicial.

Passo 1

Letra a)

precisamos verificar se o ponto x 0 = 0 é singular. Temos, nesse caso:

P x = 3 x 2

Q x = 5 x

R x = x 2 - 1

Mas temos que

P x 0 = 0

Logo, x 0 = 0 é singular.

Assim podemos escrever:

q x = x Q x P ( x ) = 5 3

r x = x 2 R x P ( x ) = x 2 - 1 3

Como as função são analíticas em x 0 , temos que esse ponto é singular da equação.

Passo 2

Letra b)

Vamos lá. Primeiro devemos determinar q 0 e r ( 0 ) para encontrarmos a equação indicial.

Assim:

q 0 = 5 3

r 0 = - 1 3

Assim a equação de Euler associada é:

x 2 y ' ' + 5 3 x y ' - 1 3 y = 0

Com isso a equação indicial é:

r r - 1 + 5 3 r - 1 3 = 0

( 3 r - 1 ) r + 1 = 0

Logo as raízes são: 1 3 e - 1 .

Passo 3

c)

Esse item é um pouco mais trabalhoso, mas fazendo passo a passo fica tranquilo. Assim, tomando a menor raiz, temos:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n - 1

y ' x = ∑ n = 0 ∞ ( n - 1 ) a n x n - 2

y ' ' x = ∑ n = 0 ∞ ( n - 1 ) ( n - 2 ) a n x n - 3

Fazendo essas substituições na EDO, temos:

3 x 2 ∑ n = 0 ∞ ( n - 1 ) ( n - 2 ) a n x n - 3 + 5 x ∑ n = 0 ∞ ( n - 1 ) a n x n - 2 + ( x 2 - 1 ) ∑ n = 0 ∞ a n x n - 1 = 0

Colocando o x para dentro dos somatórios:

∑ n = 0 ∞ 3 ( n - 1 ) ( n - 2 ) a n x n - 1 + ∑ n = 0 ∞ 5 ( n - 1 ) a n x n - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n - 1 = 0

Precisamos, agora, igualar as potências de x por x n . Temos:

∑ n = - 1 ∞ 3 n ( n - 1 ) a n + 1 x n + ∑ n = - 1 ∞ 5 n a n + 1 x n + ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n - ∑ n = - 1 ∞ a n + 1 x n = 0

Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice n .

Temos, então:

6 a 0 - 5 a 0 - a 0 ⏞ 0 x - a 1 + ∑ n = 1 ∞ ( 3 n n - 1 a n + 1 + 5 n a n + 1 + a n - 1 - a n + 1 ) x n = 0

Passo 4

Como x n ≠ 0 , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.

a 1 = 0

3 n n - 1 a n + 1 + 5 n a n + 1 + a n - 1 - a n + 1 = 0

Assim, temos que:

a n + 1 3 n n - 1 + 5 n - 1 = - a n - 1

a n + 1 3 n 2 + 2 n - 1 = - a n - 1

a n + 1 = - a n - 1 ( 3 n - 1 ) ( n + 1 )

Resposta

b)

  1 3 ,   - 1

c)

a n + 1 = - a n - 1 ( 3 n - 1 ) ( n + 1 )

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