Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

Considere a seguinte equação de Chebyshev.

1 - x 2 y " - x y ' + y   =   0

  1. Mostre que 1 é ponto singular regular de essa equação.
  2. Determine as raízes da equação indicial dessa equação.
  3. Determine a relação de recorrência da solução em série de essa equação que corresponde à maior das duas raízes encontradas no item b).

Passo 1

a)

Temos:

P x = ( 1 - x 2 )

Q x =   - x

R x = 1

Para determinar se x 0 = 1 é ponto singular regular, calculamos os limites:

lim x → 1 ⁡ x - x 0 Q x P x = lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) - x ( 1 - x 2 ) = lim x → 1 ⁡ x - 1 - - x - 1 - x 1 + x =

lim x → 1 ⁡ x 1 + x = 1 2

l i m x → 1 x - x 0 2 R x P x = l i m x → 1 x - 1 2 1 1 - x 2 = l i m x → 1 - x + 1 ( x - 1 ) - ( 1 + x ) 1 - x =

l i m x → 1   - ( x - 1 ) 1 + x = 0

Pronto! Como esses limites existem, podemos chamar o ponto x 0 = 1 de singular regular.

Passo 2

b)

Agora fazemos:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n ( x - 1 ) n + r

y ' x =   ∑ n = 0 ∞ ( n + r ) a n ( x - 1 ) n + r - 1

y " x =   ∑ n = 0 ∞ ( n + r - 1 ) ( n + r ) a n ( x - 1 ) n + r - 2

Para incluir, P ( x ) e Q ( x ) precisamos coloca-las como potências de ( x - 1 ) .

Q x = - x = - x + 1 - 1 = - x - 1 - 1

Saca só a mágica agora!

P x =   1 - x 2 = 1 - x 1 + x = 1 - x 2 + ( x - 1 ) = - x - 1 2 + ( x - 1 )

P x = - 2 x - 1 - x - 1 2

E substituímos essas “””belezinhas””” na EDO

1 - x 2 y " - x y ' + y   =   0

- 2 x - 1 - x - 1 2 ∑ n = 0 ∞ n + r - 1 n + r a n x - 1 n + r - 2 + - x - 1 - 1 ∑ n = 0 ∞ n + r a n x - 1 n + r - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n ( x - 1 ) n + r = 0

Passo 3

Multiplicando todos esses negócios aí, ficamos com

- 2 ∑ n = 0 ∞ n + r - 1 n + r a n x - 1 n + r - 1 - ∑ n = 0 ∞ n + r - 1 n + r a n x - 1 n + r - ∑ n = 0 ∞ n + r a n x - 1 n + r - ∑ n = 0 ∞ n + r a n x - 1 n + r - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n x - 1 n + r = 0

Agora é só ajeitar juntando os somatórios com mesma potência de ( x - 1 ) e botando o que der em evidência

∑ n = 0 ∞ - 2 n + r - 1 n + r - n + r a n x - 1 n + r - 1 + ∑ n = 0 ∞ [ - n + r - 1 n + r - n + r + 1 ] a n x - 1 n + r = 0

Dando uma ajeitada nesses caras

∑ n = 0 ∞ n + r 1 - 2 n + r a n x - 1 n + r - 1 + ∑ n = 0 ∞ ( 1 - n + r 2 ) a n x - 1 n + r = 0

Agora ficou show!

Passo 4

Agora temos que trabalhar no primeiro somatório pra ter todos somatórios com x - 1 n + r . É só fazer m = n - 1 , assim

∑ n = 0 ∞ n + r 1 - 2 n + r a n x - 1 n + r - 1 → ∑ m = - 1 ∞ m + 1 + r 1 - 2 m + 1 + r a m + 1 x - 1 m + 1 + r - 1

Que fica ao voltar pra letra n

∑ n = - 1 ∞ 1 + n + r - 1 - 2 n + r a n + 1 x - 1 n + r = - ∑ n = - 1 ∞ 1 + n + r 1 + 2 n + r a n + 1 x - 1 n + r

E podemos dividir esse somatório em

- ∑ n = - 1 ∞ 1 + n + r 1 + 2 n + r a n + 1 x - 1 n + r

= - 1 - 1 + r 1 + 2 - 1 + r a 0 x - 1 - 1 + r - ∑ n = 0 ∞ 1 + n + r - 1 - 2 n + r a n + 1 x - 1 n + r

r 1 - 2 r a 0 x - 1 r - 1 - ∑ n = 0 ∞ 1 + n + r 1 + 2 n + r a n + 1 x - 1 n + r

E na nossa EDO

r 1 - 2 r a 0 x - 1 r - 1 - ∑ n = 0 ∞ 1 + n + r 1 + 2 n + r a n + 1 x - 1 n + r + ∑ n = 0 ∞ ( 1 - n + r 2 ) a n x - 1 n + r = 0

E finalmente!!!!

r 1 - 2 r a 0 x - 1 r - 1 - ∑ n = 0 ∞ 1 - n + r 2 a n - 1 + n + r 1 + 2 n + r a n + 1 x - 1 n + r

Passo 5

Vamos resolver a equação indicial! Para a 0 ≠ 0

r 1 - 2 r a 0 x - 1 r - 1 = 0

r 1 - 2 r = 0

As raízes desta equação são: r = 0 e r = 1 2 .

Passo 6

Vamos encontrar a relação de recorrência.

1 - n + r 2 a n - 1 + n + r 1 + 2 n + r a n + 1 = 0

a n + 1 = 1 - n + r 2 a n 1 + n + r 1 + 2 n + r

Passo 7

c)

Para a maior raiz, substituindo r = 1 / 2 na relação de recorrência.

a n + 1 = 1 - n + 1 2 2 a n 1 + n + 1 2 1 + 2 n + 1 2

Obs: No gabarito do IM aparece uma resposta aparentemente diferente, mas é por que a nossa tá mais organizadinha 😉

Resposta

b)

As raízes desta equação são: r = 0 e r = 1 2 .

c)

a n + 1 = 1 - n + 1 2 2 a n 1 + n + 1 2 1 + 2 n + 1 2

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