Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

Considere a seguinte equação diferencial ordinária:

3 x 2 y ' ' + 2 x y ' + x 2 y = 0

a) Mostre que x = 0 é um ponto singular regular.

b) Determine as raízes da equação indicial em torno do ponto x = 0 .

c) Seja y x a solução dada em série de potências, em torno de x = 0 , correspondente à maior raiz da equação indicial. Determine a relação de recorrência dos coeficientes dessa solução.

Passo 1

Letra a)

precisamos verificar se o ponto x 0 = 0 é singular. Temos, nesse caso:

P x = 3 x 2

Q x = 2 x

R x = x 2

Mas temos que

P x 0 = 0

Logo, x 0 = 0 é singular.

Assim podemos escrever:

q x = x Q x P ( x ) = 2 3

r x = x 2 R x P ( x ) = x 2 3

Como as função são analíticas em x 0 , temos que esse ponto é singular da equação.

Passo 2

Letra b)

Bem, para achar a equação indicial, vamos considerar a solução: y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r

Ao derivar, lembre-se que o índice não muda:

y ' x = ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1

y ' ' x = ∑ n = 0 ∞ n + r n + r - 1 a n x n + r - 2

Show? Vamos substituir na EDO agora!

3 x 2 y ' ' + 2 x y ' + x 2 y = 0 →

3 x 2 ∑ n = 0 ∞ n + r n + r - 1 a n x n + r - 2 + 2 x ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 + x 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0

Jogando o x para dentro do somatório:

∑ n = 0 ∞ 3 n + r n + r - 1 a n x n + r + ∑ n = 0 ∞ 2 n + r a n x n + r + ∑ n = 0 ∞ a n x n + r + 2 = 0

Para deixar o último somatório no formato x n + r , fazemos n ^ = n + 2 , ficando: ∑ n = 0 ∞ 3 n + r n + r - 1 a n x n + r + ∑ n = 0 ∞ 2 n + r a n x n + r + ∑ n = 2 ∞ a n - 2 x n + r = 0

Vamos agora acertar os índices, deixando tudo em n = 2 . Para tal, tiramos os primeiros termos dos primeiros dois somatórios: 3 r r - 1 a 0 + 3 r + 1 r a 1 + 2 r a o + 2 r + 1 a 1 + ∑ n = 2 ∞ 3 n + r n + r - 1 a n x n + r

+ ∑ n = 2 ∞ 2 n + r a n x n + r + ∑ n = 2 ∞ a n - 2 x n + r = 0

A nossa equação indicial está à esquerda!

3 r r - 1 a 0 + 3 r r + 1 a 1 + 2 r a 0 + 2 r + 1 a 1 = 0

Para calcular as raízes, vamos igualar o primeiro termo a zero:

a 0 3 r r - 1 + 2 r = 0

3 r 2 - r = 0 ⟹ r 3 r - 1

As raízes então serão:

r = 0 ; r = 1 3

Logo as raízes são: 1 3 e 0 .

Passo 3

c)

Esse item é um pouco mais trabalhoso, mas fazendo passo a passo fica tranquilo. Assim, tomando a maior raiz, temos:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 3

y ' x = x 1 3 ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 3 ) a n x n - 1

y ' ' x = x 1 3 ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 3 ) ( n - 2 3 ) a n x n - 2

Fazendo essas substituições na EDO, temos:

3 x 2 x 1 3 ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 3 ) ( n - 2 3 ) a n x n - 2 + 2 x x 1 3 ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 3 ) a n x n - 1 + x 2 x 1 3 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Colocando o x para dentro dos somatórios:

x 1 3 ∑ n = 0 ∞ 3 ( n + 1 3 ) ( n - 2 3 ) a n x n + x 1 3 ∑ n = 0 ∞ 2 ( n + 1 3 ) a n x n + x 1 3 ∑ n = 0 ∞ a n x n + 2 = 0

Precisamos, agora, igualar as potências de x por x n . Temos:

x 1 3 ∑ n = 0 ∞ 3 n + 1 3 n - 2 3 a n x n + ∑ n = 0 ∞ 2 n + 1 3 a n x n + ∑ n = 2 ∞ a n - 2 x n = 0

Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice n .

Temos, então:

x 1 3 4 a 1 + ∑ n = 2 ∞ 3 n + 1 3 n - 2 3 a n +   2 n + 1 3 a n + a n - 2   x n = 0

x 1 3 4 a 1 + ∑ n = 2 ∞ n ( 3 n + 1 ) a n + a n - 2   x n = 0

Passo 4

Como x n ≠ 0 , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.

4 a 1 = 0   ⟹ a 1 = 0

n ( 3 n + 1 ) a n + a n - 2 = 0

Assim, temos que:

a n = - a n - 2 n ( 3 n + 1 )

Resposta

b )   1 3 e 0

c )   a n = - a n - 2 n ( 3 n + 1 )

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