Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

Dada a equação diferencial 2 x y ' ' + y ' + x y = 0

( a ) Mostre que a equação tem um ponto singular regular em x 0 = 0 .

( b ) Determine a equação indicial e suas raízes.

( c ) Encontre a relação de recorrência.

( d ) Encontre os três primeiros termos não nulos da solução correspondente à maior raiz e dê a forma da solução correspondente à menor raiz.

Passo 1

( a ) Como a equação diferencial está na forma

P ( x ) y ' ' + Q ( x ) y ' + R ( x ) y = 0

identificamos: P x = 2 x .

Assim, os pontos singulares são dados por P x = 0 . Logo: 2 x = 0 → x = 0 .

Passo 2

Agora olhamos para

x - x 0   Q ( x ) P ( x ) = x . 1 2 x = 1 2

x - x 0 2   R ( x ) P ( x ) = x 2 x 2 x = x 2 2  

E vemos que ambas as funções são analíticas para todo x . Logo, os limites quando x → x 0 existem e são finitos:

p 0 = lim x → 0 ⁡   1 2 = 1 2

q 0 = lim x → 0 ⁡   x 2 2 = 0

Portanto, x 0 = 0 é um ponto singular regular.

Passo 3

( b ) Vamos escrever a série de Frobenius

y ( x ) = ∑ n = 0 ∞   a n x n + r

De modo que, para a primeira e segunda derivadas, obtemos:

y ' ( x ) = ∑ n = 0 ∞   a n ( n + r ) x n + r - 1

y ' ' ( x ) = ∑ n = 0 ∞   a n ( n + r ) ( n + r - 1 ) x n + r - 2

Passo 4

Agora substituímos as séries na equação...

2 x ∑ n = 0 ∞   a n ( n + r ) ( n + r - 1 ) x n + r - 2 + ∑ n = 0 ∞   a n ( n + r ) x n + r - 1 + x ∑ n = 0 ∞   a n x n + r = 0

E vamos colocar os termos com x para dentro dos somatórios:

∑ n = 0 ∞   2 a n ( n + r ) ( n + r - 1 ) x n + r - 1 + ∑ n = 0 ∞   a n ( n + r ) x n + r - 1 + ∑ n = 0 ∞   a n x n + r + 1 = 0

Passo 5

Vamos deixar geral com x n + r - 1 no somatório. Para isso, deslocamos o índice do último somatório:

∑ n = 0 ∞ a n x n + r + 1 = ∑ n = 2 ∞   a n - 2 x n + r - 1

E, assim,  

∑ n = 0 ∞   2 a n ( n + r ) ( n + r - 1 ) x n + r - 1 + ∑ n = 0 ∞   a n ( n + r ) x n + r - 1 + ∑ n = 2 ∞   a n - 2 x n + r - 1 = 0

Agora, reescrevemos os dois primeiros somatórios para começarem de n = 2 :

∑ n = 0 ∞ 2   a n n + r n + r - 1 x n + r - 1 = 2 a 0 . r r - 1 x r - 1 + 2 a 1 . r r + 1 x r + ∑ n = 2 ∞ 2   a n ( n + r ) ( n + r - 1 ) x n + r - 1

∑ n = 0 ∞   a n ( n + r ) x n + r - 1 = a 0 . r   x r - 1 + a 1 . r + 1 x r +   ∑ n = 2 ∞   a n ( n + r ) x n + r - 1

E, combinando tudo:

2 a 0 . r r - 1 x r - 1 + 2 a 1 . r r + 1 x r + ∑ n = 2 ∞   2 a n n + r n + r - 1 x n + r - 1 + a 0 . r   x r - 1 + a 1 . r + 1 x r +   ∑ n = 2 ∞   a n n + r x n + r - 1 + ∑ n = 2 ∞   a n - 2 x n + r - 1 = 0

a 0 . r ( 2 r - 1 ) x r - 1 + a 1 . ( 2 r + 1 ) r + 1 x r + ∑ n = 2 ∞   2 a n n + r n + r - 1 + a n n + r + a n - 2 x n + r - 1 = 0

Passo 6

Vamos tomar somente a parte de a 0 para a equação indicial:

a 0 . r ( 2 r - 1 ) x r - 1 = 0

Como a 0 ≠ 0 e x r - 1 ≠ 0 , então

r 2 r - 1 = 0

r 1 = 1 2 ,     r 2 = 0

Neste caso as raízes diferem por um valor fracionário.

Passo 7

( c ) Vamos tomar uma solução em série para r 1 = 1 2 (a maior raiz):

y 1 x = x r 1 ∑ n = 0 ∞   a n x n

Como

a 1 . ( 2 r + 1 ) r + 1 x r = 0

a 1 3 x 1 / 2 = 0

concluímos que a 1 = 0 .

Mas precisamos da relação de recorrência:

2 a n n + r n + r - 1 + a n n + r + a n - 2 = 0

a n 2 n + r n + r - 1 + n + r = - a n - 2

a n n + r 2 n + r - 1 + 1 = - a n - 2

a n n + r 2 n + r - 1 = - a n - 2

a n = - a n - 2 n + r 2 n + r - 1

Com r = 1 / 2 :

a n = - a n - 2 n + 1 2 2 n + 1 2 - 1

a n = - a n - 2 n + 1 2 2 n

a n = - a n - 2 n ( 2 n + 1 )

Passo 8

( d ) Beleza, começando de a 0 , vamos ter:

a 2 = - 1 2.5 a 0 = - 1 10 a 0

a 4 = - 1 4.9 a 2 = - 1 36 a 2 = 1 360 a 0

a 6 = - 1 6.13 a 4 = - 1 78 a 4 = - 1 28080 a 0

Logo, a solução aparece apenas nos n pares:

y 1 x = x 1 2 a 0 + a 2 x 2 + a 4 x 4 + a 6 x 6 + …

y 1 x = a 0   x 1 2 1 - 1 10 x 2 + 1 360 x 4 - 1 28080 x 6 + …

Passo 9

Para a outra solução linearmente independente, teremos:

r 2 = 0

Portanto, sua forma será:

y 2 x = x r 2 ∑ n = 0 ∞   a n x n

y 2 x = ∑ n = 0 ∞   a n x n

Resposta

( b ) a 0 . r ( 2 r - 1 ) x r - 1 = 0 ; r 1 = 1 2 ,   r 2 = 0 .

( c ) a n = - a n - 2 n + r 2 n + r - 1

d a 2 = - 1 10 a 0   ; a 4 = 1 360 a 0 ; a 6 = - 1 28080 a 0 ; y 2 x = ∑ n = 0 ∞   a n x n

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