Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

Use o teorema de Frobenius para determinar soluções da seguinte equação linear homogênea ao redor dos seus pontos singulares regulares:

x y ' ' + x - 6 y ' - 3 y = 0

Passo 1

A primeira coisa a fazer é identificar o ponto singular regular, para isso primeiro vemos quais são os pontos singulares, repare que

P x = x

Q x = x - 6

R x = - 3

E P x = 0 só para x = 0 , esse é o único ponto singular, vamos testar agora se ele é regular fazendo os limites

lim x → 0 ⁡ x - 0 x - 6 x = lim x → 0 ⁡ x - 6 = - 6

lim x → 0 ⁡ x - 0 2 - 3 x = lim x → 0 ⁡ - 3 x = 0

Então ele é um ponto singular regular.

Passo 2

Agora fazemos

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r

y ' x = ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1

y ' ' x = ∑ n = 0 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 2

E substituímos na Edo

x ∑ n = 0 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 2 + x - 6 ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 - 3 ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0

x ∑ n = 0 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 2 + x ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 - 6 ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 - 3 ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0

∑ n = 0 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 1 + ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 6 ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 - 3 ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0

Passo 3

Vamos deixá-los com a mesma potência de x , nesse caso, x n + r - 1 .

∑ n = 0 ∞ a n x n + r = ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n + r - 1

E

∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r = ∑ n = 1 ∞ n + r - 1 a n - 1 x n + r - 1

Vamos ter então

∑ n = 0 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 1 + ∑ n = 1 ∞ n + r - 1 a n - 1 x n + r - 1 - 6 ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 - 3 ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n + r - 1 = 0

Passo 4

Vamos andar todo mundo uma unidade para que todos comecem no mesmo ponto

r r - 1 a 0 x r - 1 - 6 r a 0 x r - 1 + ∑ n = 1 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 1 + ∑ n = 1 ∞ n + r - 1 a n - 1 x n + r - 1 - 6 ∑ n = 1 ∞ n + r a n x n + r - 1 - 3 ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n + r - 1 = 0

Vamos agora resolver a equação indicial

r r - 1 a 0 - 6 r a 0 = 0

Como a 0 ≠ 0

r r - 1 - 6 r = 0

r 2 - 7 r = 0

r r - 7 = 0

r 1 = 7

r 2 = 0

Opa, dessa vez temos um problema. As duas raízes deram inteiros. Assim, a única raiz que vamos pegar para fazer a solução é a maior entre elas.

Passo 5

Vamos, então, juntar os somatórios, colocando o x n + r - 1 em evidência

∑ n = 1 ∞ n + r n + r - 1 a n x n + r - 1 + ∑ n = 1 ∞ n + r - 1 a n - 1 x n + r - 1 - 6 ∑ n = 1 ∞ n + r a n x n + r - 1 - 3 ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n + r - 1 = 0

∑ n = 1 ∞ n + r n + r - 1 a n - 6 n + r a n + n + r - 1 a n - 1 - 3 a n - 1 x n + r - 1 = 0

Vamos encontrar a relação de recorrência

n + r n + r - 1 a n - 6 n + r a n + n + r - 1 a n - 1 - 3 a n - 1 = 0

n + r - 1 - 6 n + r a n + n + r - 1 - 3 a n - 1 = 0

n + r - 7 n + r a n + n + r - 4 a n - 1 = 0

n + r - 7 n + r a n = - n + r - 4 a n - 1

a n = - n + r - 4 a n - 1 n + r n + r - 7

Passo 6

Vamos achar a solução para r 1 = 0

a n = - n + 3 a n - 1 n n + 7

para   n = 1       →       a 1 = - 4 a 0 1.8                                                  

para   n = 2       →         a 2 = - 5 a 1 2.9       →       a 2 = 5.4 . a 0 2.1 9.8

para   n = 3       →       a 3 = - 6 a 2 3.10       →       a 3 = - 6.5 . 4 . a 0 3.2 . 1 10.9 . 8

Repara que vamos ter quase n + 3 ! no numerador, falta os 3 primeiros termos do fatorial, ou seja, vamos multiplicar por 3 ! Em cima e embaixo por 3 !

Além disso, usando o mesmo raciocínio para o n + 7 ! , devemos multiplicar por 7 ! em cima e embaixo.

Acaba sobrando a seguinte relação

a n = - 1 n n + 3 ! 7 ! a 0 n ! n + 7 ! 3 !

O 3 ! Que estaria no numerador está dentro do n + 3 ! , e o 7 ! Do denominador está dentro do n + 7 !

Passo 7

Lembrando que r = 7 e

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 7

Vamos ter

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 7 = a 0 x 7 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n n + 3 ! 7 ! a 0 n ! n + 7 ! 3 ! x n + 7

Se olharmos o termo geral desse somatório, se tivéssemos ele começando em n = 0 , o primeiro termo seria exatamente aquele a 0 , então a solução na verdade é

y 1 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 3 ! 7 ! a 0 n ! n + 7 ! 3 ! x n + 7

Podemos tirar a 0 porque queremos a solução para depois multiplicar por uma constante.

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 3 ! 7 ! n ! n + 7 ! 3 ! x n + 7

Nessa questão temos apenas uma solução.

Resposta

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 3 ! 7 ! n ! n + 7 ! 3 ! x n + 7

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