Exercícios Resolvidos de Método de Frobenius – Ponto Singular Regular

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Enunciado

Use o teorema de Frobenius para determinar soluções da seguinte equação linear homogênea ao redor dos seus pontos singulares regulares:

x y ' ' + 1 - x y ' - y = 0

Passo 1

A primeira coisa a fazer é identificar o ponto singular regular, para isso primeiro vemos quais são os pontos singulares, repare que

P x = x

Q x = 1 - x

R x = - 1

E P x = 0 só para x = 0 , esse é o único ponto singular, vamos testar agora se ele é regular fazendo os limites

lim x → 0 ⁡ x - 0 1 - x x = lim x → 0 ⁡ 1 - x = 1

lim x → 0 ⁡ x - 0 2 - 1 x = lim x → 0 ⁡ - x = 0

Então ele é um ponto singular regular.

Passo 2

Agora fazemos

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r

y ' x = ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1

y ' ' x = ∑ n = 0 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 2

E substituímos na Edo

x ∑ n = 0 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 2 + 1 - x ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0

x ∑ n = 0 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 2 + ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 - x ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0

∑ n = 0 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 1 + ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 - ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = 0

Passo 3

Vamos deixá-los com a mesma potência de x , nesse caso, x n + r - 1 .

∑ n = 0 ∞ a n x n + r = ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n + r - 1

E

∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r = ∑ n = 1 ∞ n + r - 1 a n - 1 x n + r - 1

Vamos ter então

∑ n = 0 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 1 + ∑ n = 0 ∞ n + r a n x n + r - 1 - ∑ n = 1 ∞ n + r - 1 a n - 1 x n + r - 1 - ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n + r - 1 = 0

Passo 4

Vamos andar todo mundo uma unidade para que todos comecem no mesmo ponto

r r - 1 a 0 x r - 1 + r a 0 x r - 1 + ∑ n = 1 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 1 + ∑ n = 1 ∞ n + r a n x n + r - 1 - ∑ n = 1 ∞ n + r - 1 a n - 1 x n + r - 1 - ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n + r - 1 = 0

Vamos agora resolver a equação indicial

r r - 1 a 0 + r a 0 = 0

Como a 0 ≠ 0

r r - 1 + r = 0

r 2 = 0

r 1 = 0

r 2 = 0

Opa, dessa vez temos um problema. As duas raízes deram o mesmo valor

Assim, vamos, a princípio, ter apenas uma solução.

Passo 5

Vamos, então, juntar os somatórios, colocando o x n + r - 1 em evidência

∑ n = 1 ∞ n + r ( n + r - 1 ) a n x n + r - 1 + ∑ n = 1 ∞ n + r a n x n + r - 1 - ∑ n = 1 ∞ n + r - 1 a n - 1 x n + r - 1 - ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n + r - 1 = 0

∑ n = 1 ∞ n + r n + r - 1 a n + n + r a n - n + r - 1 a n - 1 - a n - 1 x n + r - 1 = 0

Vamos encontrar a relação de recorrência

n + r n + r - 1 a n + n + r a n - n + r - 1 a n - 1 - a n - 1 = 0

n + r n + r - 1 + n + r a n - n + r a n - 1 = 0

n + r n + r - 1 + 1 a n - n + r a n - 1 = 0

n + r n + r a n - n + r a n - 1 = 0

Como n + r ≠ 0

n + r a n = a n - 1

a n = a n - 1 n + r

Passo 6

Vamos achar a solução para r 1 = 0

a n = a n - 1 n

para   n = 1       →       a 1 = a 0 1                                                  

para   n = 2       →         a 2 = a 1 2       →       a 2 = a 0 2.1

para   n = 3       →       a 3 = a 2 3       →       a 3 = a 0 3.2 . 1

Repara que vamos ter

a n = a 0 n !

Passo 7

Lembrando que r = 0 e

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Vamos ter

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + ∑ n = 1 ∞ a 0 n ! x n

Se olharmos o termo geral desse somatório, se tivéssemos ele começando em n = 0 , o primeiro termo seria exatamente aquele a 0 , então a solução na verdade é

y 1 = ∑ n = 0 ∞ a 0 n ! x n

Podemos tirar a 0 porque queremos a solução para depois multiplicar por uma constante.

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n

Nessa questão temos apenas uma solução.

Resposta

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n

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