Exercícios Resolvidos de Teorema da Divergência no Plano

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – volume 3, 5ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 2002, pp. 202-1b.

Calcule

γ F n   d t

Sendo dados: F = y   j , γ a fronteira do quadrado de vértices ( 0,0 ) , ( 1,0 ) , ( 1,1 ) e ( 0 ,   1 ) e n a normal que aponta para fora do quadrado, sendo γ orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

A gente sabe que o que ele pede é o fluxo e, nesse caso, nem seria tão complicado tentar fazer pela definição, mas seriam quatro curvas e muitas contas, né?

Por sorte, temos o teorema da divergência no plano para nos ajudar.

Vamos lembrar o que vimos na teoria. O teorema nos diz, basicamente que:

D F n   d t = D F 1 x + F 2 y   d x d y

Ou seja, saimos de um integral de linha de fluxo para calcularmos uma integral dupla. Vamos ver se vale a pena mesmo!

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Passo 2

O campo que a questão deu é escrito por:

F = F 1 ,   F 2 = ( 0 , y )

Então, calculando o termo dentro da integral dupla, vamos ter que:

F 1 x + F 2 y = 0 + 1 = 1

O que é muito simples e nos ajuda muito no cálculo. Vamos ver como que vai ficar, então!

Passo 3

É só jogar na integral dupla:

D F 1 x + F 2 y   d x d y = D 1   d x d y = Á r e a ( D )

O nosso domínio D é bem tranquilo, um quadrado de lado 1 , então temos que a área do quadrado é:

Á r e a D = 1 2 = 1

Ou seja:

γ F n   d t = 1

Resposta

1

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