Exercícios Resolvidos de Teorema da Divergência no Plano

George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education do Brasil ltda., 2009, pp. 504-13.

Encontre o fluxo exterior do campo

F = 3 x y - x 1 + y 2 i + e x + arctan y j

Através da cardióide

r = a 1 + cos θ ,   a > 0

Passo 1

Eita, essa parece uma integral bem difícil de fazer pela definição...

Mas a gente viu na teoria que tem outra forma de resolver essa questão: o teorema da divergência!

Vamos lembrar o que ele diz:

D F n   d t = D F 1 x + F 2 y   d x d y

Ou seja, saimos de um integral de linha de fluxo para calcularmos uma integral dupla.

Com sorte, vamos ter algo mais possível de calcular, vamos ver como que vai ficar!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O campo que a questão deu é escrito por:

F = F 1 ,   F 2 = ( 3 x y - x 1 + y 2 , e x + arctan y )

Então, calculando o termo dentro da integral dupla, vamos ter que:

F 1 x + F 2 y = 3 y - 1 1 + y 2 + 1 1 + y 2 = 3 y

É, com certeza é algo muito mais simples do que tinhamos antes, né?

Mas calma que ainda vamos ter que ver como que isso fica na integral.

Passo 3

Vamos ter:

D F 1 x + F 2 y   d x d y = D 3 y   d x d y

A região D parece meio estranha, mas a curva sugere coordenadas polares, então vamos tentar:

x = r cos θ ,   y = r sin θ ,   d x d y = r   d r d θ

O domínio fica:

0 θ 2 π

0 r   a 1 + cos θ

Então:

D 3 y   d x d y = 0 2 π 0 a ( 1 + cos θ ) 3   r sin θ   r   d r d θ

Que é viável de calcular, vamos tentar!

Passo 4

Falta só resolver a integral:

0 2 π 0 a 1 + cos θ 3   r sin θ   r   d r d θ = 0 2 π sin θ r 3 0 a 1 + cos θ   d θ

= 0 2 π sin θ a 3 1 + cos θ 3   d θ

Que a gente resolve com a substituição:

u = 1 + cos θ

d u = - sen θ d θ d θ = d u se n θ

Então:

sin θ a 3 1 + cos θ 3   d θ = a 3 u 3 d u = a 3 u 4 4 = a 3 4 1 + cos θ 4

Usando os limites de integração que tinhamos antes:

a 3 4 1 + cos θ 4 0 2 π = a 3 4 - a 3 4 = 0

Tudo isso pra chegarmos em 0 , não acredito... haha

Mas o que importa é que conseguimos resolver a questão!

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