Exercícios Resolvidos de Teorema da Divergência no Plano

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Enunciado

Encontre o fluxo exterior do campo

F = 3 x y - x 1 + y 2 i + e x + arctan ⁡ y j

Através da cardióide

r = a 1 + cos ⁡ θ ,   a > 0

Passo 1

Eita, essa parece uma integral bem difícil de fazer pela definição...

Mas a gente viu na teoria que tem outra forma de resolver essa questão: o teorema da divergência!

Vamos lembrar o que ele diz:

∫ ∂ D F → ∙ n →   d t = ∬ D ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y   d x d y

Ou seja, saimos de um integral de linha de fluxo para calcularmos uma integral dupla.

Com sorte, vamos ter algo mais possível de calcular, vamos ver como que vai ficar!

Passo 2

O campo que a questão deu é escrito por:

F → = F 1 ,   F 2 = ( 3 x y - x 1 + y 2 , e x + arctan ⁡ y )

Então, calculando o termo dentro da integral dupla, vamos ter que:

∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y = 3 y - 1 1 + y 2 + 1 1 + y 2 = 3 y

É, com certeza é algo muito mais simples do que tinhamos antes, né?

Mas calma que ainda vamos ter que ver como que isso fica na integral.

Passo 3

Vamos ter:

∬ D ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y   d x d y = ∬ D 3 y   d x d y

A região D parece meio estranha, mas a curva sugere coordenadas polares, então vamos tentar:

x = r cos ⁡ θ ,   y = r sin ⁡ θ ,   d x d y = r   d r d θ

O domínio fica:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤   a 1 + cos ⁡ θ

Então:

∬ D 3 y   d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 a ( 1 + cos ⁡ θ ) 3   r sin ⁡ θ   r   d r d θ

Que é viável de calcular, vamos tentar!

Passo 4

Falta só resolver a integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 a 1 + cos ⁡ θ 3   r sin ⁡ θ   r   d r d θ = ∫ 0 2 π sin ⁡ θ ∙ r 3 │ 0 a 1 + cos ⁡ θ   d θ

= ∫ 0 2 π sin ⁡ θ ∙ a 3 1 + cos ⁡ θ 3   d θ

Que a gente resolve com a substituição:

u = 1 + cos ⁡ θ

d u = - sen ⁡ θ d θ → d θ = d u se n ⁡ θ

Então:

∫ sin ⁡ θ ∙ a 3 1 + cos ⁡ θ 3   d θ = a 3 ∫ u 3 d u = a 3 ∙ u 4 4 = a 3 4 1 + cos ⁡ θ 4

Usando os limites de integração que tinhamos antes:

a 3 4 1 + cos ⁡ θ 4 │ 0 2 π = a 3 4 - a 3 4 = 0

Tudo isso pra chegarmos em 0 , não acredito... haha

Mas o que importa é que conseguimos resolver a questão!

Resposta

0

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