Exercícios Resolvidos de Teorema da Divergência no Plano

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – volume 3, 5ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 2002, pp. 204-10.

Seja

F = x 3 y 3 i + 3 y - 3 4 x 2 y 4 j

E seja

γ t = t 3 , sin ( 4 arctan t 2 ) ,   0 t 1

Seja α a área do conjunto limitado pelo eixo x e pela curva y . Calcule

γ F n   d t

Onde n é a normal a γ que aponta para fora do conjunto acima mencionado.

Passo 1

A integral dada é bem similar a uma integral de linha de fluxo (com exceção de que a curva dada não é fechada), mas parece bem difícil de calcular pela definição.

Podemos pensar então em usar o teorema da divergência:

D F n   d t = D F 1 x + F 2 y   d x d y

Mas precisamos lembrar que uma das condições do teorema é que a curva seja a fronteira da região D , isto é, a curva precisa ser fechada. Vamos ver como podemos contornar isso!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A curva γ dada na questão não é fechada. Na verdade, podemos ver que ela começa no ponto:

t = 0 0 , sin 4 0 = ( 0 ,   0 )

E termina no ponto:

t = 1 1 , sin 4 π 4 = 1 ,   0

Então, pra começar, temos que criar uma curva que ligue esses dois pontos. Pode ser a reta:

γ 1 : σ = t , 0 , 0 t 1

E assim, vamos ter que C = γ γ 1 , uma curva fechada. Só tem que toma cuidado que a curva está orientada no sentido horário, negativa!

Vamos fazer então que: C - = D e aplicar o teorema!

Passo 3

Vamos ter:

D F n   d t = D F 1 x + F 2 y   d x d y

E desenvolvemos mais um pouco:

- C F n   d t = D F 1 x + F 2 y   d x d y

γ F n   d t = - D F 1 x + F 2 y   d x d y - γ 1 F n   d t

Agora só precisamos calcular a integral dupla do teorema e a integral de linha sobre γ 1 , que é uma reta, então vai ser bem mais simples que a integral de γ . Mas vamos lá!

Passo 4

Vamos começar com a integral dupla:

D F 1 x + F 2 y   d x d y = D 3 x 2 y 3 + 3 - 3 x 2 y 3   d x d y

= 3 D d x d y = 3   Á r e a D

Que é dado na questão como α , então:

D F 1 x + F 2 y   d x d y = 3 α

Uma parte já foi, vamos à próxima!

Passo 5

Agora vamos tentar a integral de linha:

γ 1 F n   d t

O vetor normal é dado por:

n = d y d t , - d x d t = 0 , - 1

Então jogamos na integral:

γ 1 F n   d t = γ 1 t 3 0 3 , 3 0 - 3 4 t 2 0 0 , - 1   d t = γ 1 0   d t = 0

Opa, isso nos poupa bastante trabalho!

Passo 6

Agora é só somar:

γ F n   d t = - D F 1 x + F 2 y   d x d y - γ 1 F n   d t = - 3 α - 0 = - 3 α

E pronto, tudo resolvido!

Resposta

- 3 α

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