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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo com L’Hospital

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Enunciado

Calcule o limite abaixo:

lim x → 0 ⁡ ∫ - x 2 x e t 2 d t sen ⁡ 2 x

Passo 1

Huuum, misturou limite com integral... Já tá ligado no que vai acontecer, né? Não precisa ser nenhum mágico. Você vai cair numa indeterminação e vai ter que usar L’Hospital. Aí para derivar a função do numerador, vai ter que usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Vamos ver se acertamos?

Passo 2

Vamos analisar o limite quando x → 0 :

lim x → 0 ⁡ ∫ - x 2 x e t 2 d t sen ⁡ 2 x = ∫ 0 0 e t 2 d t sen ⁡ 0

Como

∫ a a f x d x = 0

Então,

∫ 0 0 e t 2 d t sen ⁡ 0 = 0 0

Uhuuul! L’Hôspital! L’Hôspital! (Todos vibram!)

lim x → 0 ⁡ ∫ - x 2 x e t 2 d t ' s e n   2 x '

Passo 3

Pronto! Para o numerador, usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo.

Esse é aquele caso mais chatinho em que temos tanto o limite superior quanto inferior como funções de x . Você lembra o que fazemos?

Primeiro, separamos os limites de integração:

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x

∫ - x 2 x e t 2 d t = ∫ - x C e t 2 d t +   ∫ C 2 x ( e t 2 ) d t

Agora invertemos os limites de integração da primeira integral:

∫ - x 2 x e t 2 d t = - ∫ C - x e t 2 d t +   ∫ C 2 x ( e t 2 ) d t

∫ - x 2 x e t 2 d t ' = - ∫ C - x e t 2 d t +   ∫ C 2 x e t 2 d t '

= - e - x 2 ( - x ) ' + e 2 x 2 ( 2 x ) '  

= - e x 2 ( - 1 ) + e 4 x 2 2

e x 2 + 2   e 4 x 2

Passo 4

O denominador é fácil de derivar!

( sen ⁡ 2 x ) ' = cos ⁡ 2 x   .   ( 2 x ) '

= 2 cos ⁡ 2 x

Passo 5

O limite pode ser reescrito assim:

lim x → 0 ⁡ ∫ - x 2 x e t 2 d t sen ⁡ 2 x = l i m x → 0   e x 2 + 2   e 4 x 2 2 cos ⁡ 2 x

  Agora podemos substituir:

l i m x → 0   e x 2 + 2   e 4 x 2   2 cos ⁡ 2 x

= e 0 + 2 e 0 2   c o s 0 = 1 + 2 2 = 3 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ ∫ - x 2 x e t 2 d t sen ⁡ 2 x = 3 2

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