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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo com L’Hospital

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Enunciado

Calcule o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 3 e t 3 d t ∫ 0 x 2 e 2 t 2 d t

Passo 1

Não vou nem falar que isso aí tem aquela cara típica de problema que mistura Teorema Fundamental do Cálculo com limite para você não dizer que sou uma pessoa repetitiva.

Passo 2

Como sempre, temos que começar o limite substituindo o valor do x :

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 3 e t 3 d t ∫ 0 x 2 e 2 t 2 d t = ∫ 0 0 e t 3 d t ∫ 0 0 e 2 t 2 d t

= 0 0

Indeterminação de quociente, como dá para ver. O jeito mais prático de resolver é, como sempre, usar a Regra de L’Hospital, que consiste em derivar os termos de cima e de embaixo.

O detalhe é que temos que usar o Teorema Fundamental do Cálculo tanto em cima quanto embaixo, já que tanto o numerador quanto o numerador têm integrais.

Passo 3

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 3 e t 3 d t ∫ 0 x 2 e 2 t 2 d t → L ' H lim x → 0 ⁡ [ ∫ 0 x 3 e t 3 d t ] ' [ ∫ 0 x 2 e 2 t 2 d t ] '

Em ambos os casos, o limite superior é uma função de x , então teremos que usar a regra da cadeia:

= lim x → 0 ⁡ e x 3 3 [ x 3 ] ' e 2 x 2 2   [ x 2 ] '

= lim x → 0 ⁡ e x 9 3 x 2 e 2 x 4 2 x

= lim x → 0 ⁡ e x 9 e 2 x 4 3 x 2

Pronto! Agora é só substituir e ser feliz!

= e 0 e 0 3 0 2

= 1 0

= 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 3 e t 3 d t ∫ 0 x 2 e 2 t 2 d t = 0

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