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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo com L’Hospital

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Enunciado

Calcule o limite:

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x cos ⁡ t 2008 d t x

Passo 1

Bom, temos limite misturado com integral de uma função da forma:

∫ a x f ( t ) d t

Fica esperto que isso tem muita cara de que quando você substituir o limite, vai cair em uma indeterminação. Aí vai ter que aplicar L’Hospital e usar o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1 para calcular a derivada dessa função que está no numerador. Quer apostar?

Passo 2

Vamos analisar o limite quando x → 0 :

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x cos ⁡ t 2008 d t x = ∫ 0 0 cos ⁡ t d t 0

Como

∫ a a f x d x = 0

Então,

∫ 0 0 cos ⁡ t d t 0 = 0 0

Eu ouvi indeterminação 0 0 ?! Eu ouvi L’Hôspital?!

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x cos ⁡ t 2008 d t ' x '

Passo 3

Pronto! Para o numerador, usaremos a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo.

∫ 0 x cos ⁡ t 2008 d t ' = cos ⁡ x 2008  

Passo 4

O limite pode ser reescrito assim:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2008     1 = l i m x → 0 cos ⁡ x 2008

Agora é só substituir:

l i m x → 0 cos ⁡ x 2008 = cos ⁡ 0 2008 = 1

Resposta

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x cos ⁡ t 2008 d t x = 1

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