Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo com L’Hospital

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Enunciado

C3. Encontre o valor de a ∈ R tal que

lim x → 5 ⁡ a x 2 - 25 x 2 - 4 x - 5 + x - 5 3   s e n   1 x - 5 = 5  

Passo 1

Faaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês?? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse é um desses exercícios bem típicos do cálculo 1, em que ele já sai nos mandando calcular, e deixa para que nós façamos sozinhos as interpretações necessárias para a sua resolução.

Então vamos lá analisar certinho e ver o que podemos fazer aqui!

O enunciado nos dá um limite, e o resultado desse limite. Porém, uma das funções presentes nesse limite está em função de a , que é o que a questão nos pede para descobrir!!

Por onde começamos uma questão desse tipo?

Sempre que temos um limite com várias funções, devemos avaliá-lo, de modo a aplicarmos determinadas propriedades que nos permitam resolvê-lo!

Bora lá então!

Passo 2

Para começarmos a desenvolver o limite dado, vamos dividi-lo usando a regra da soma dos limites, que diz que: lim ⁡ f x + g x = lim ⁡ f x + l i m ⁡ g ( x ) .

Desse modo, vamos ter que:

lim x → 5 ⁡ a x 2 - 25 x 2 - 4 x - 5 + x - 5 3   s e n   1 x - 5 = 5

lim x → 5 ⁡ a x 2 - 25 x 2 - 4 x - 5 + lim x → 5 ⁡ x - 5 3 + lim x → 5 ⁡ sin ⁡ 1 x - 5 = 5

Além disso, como o enunciado nos disse que a ∈ R , temos que a é, portanto, constante. Por conta disso, ele pode ser removido do limite:

a * lim x → 5 ⁡ x 2 - 25 x 2 - 4 x - 5 + lim x → 5 ⁡ x - 5 3 + lim x → 5 ⁡ sin ⁡ 1 x - 5 = 5

E agora? O que eu faço com todos esses limites?

Vamos observar cada um deles separadamente para não fazermos confusão!

Passo 3

Começando pelo primeiro limite: a * lim x → 5 ⁡ x 2 - 25 x 2 - 4 x - 5 , vamos observar que se substituirmos x → 5 , teremos uma indeterminação matemática, já que ficaremos com 0 0 .

Por conta disso, é possível aplicarmos a regra de L’Hopital, que diz que o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas! Então, vamos ter que:

a * lim x → 5 ⁡ x 2 - 25 x 2 - 4 x - 5 = a * lim x → 5 ⁡ x 2 - 25 ' x 2 - 4 x - 5 ' =

= a * lim x → 5 ⁡ 2 x 2 x - 4 = a * lim x → 5 ⁡ 2 x 2 x - 2 = a * lim x → 5 ⁡ x x - 2

Então, voltando para a nossa equação geral, vamos ter que:

a * lim x → 5 ⁡ x x - 2 + lim x → 5 ⁡ x - 5 3 + lim x → 5 ⁡ sin ⁡ 1 x - 5 = 5

Passo 4

Avaliando a nossa equação geral ali do passo 3, vamos ter que, como

x - 5 2 * - 1 ≤ x - 5 2 sin ⁡ 1 x - 5 ≤ x - 5 2 * ( 1 )

E como lim x → 5 ⁡ x - 5 2 * - 1 = lim x → 5 ⁡ x - 5 2 * 1 = 0

Podemos então aplicar o teorema do confronto, que diz que: se uma função que está no meio de outras duas funções que tem o mesmo limite, então obrigatoriamente a função que está no meio terá o mesmo limite das outras duas.

Desse modo, vamos ter que:

a * lim x → 5 ⁡ x x - 2 + 0 = 5

Agora, antes de substituirmos x → 5 acima, vamos aplicar a propriedade da subtração e da divisão de limites, de modo a obter:

a * lim x → 5 ⁡ x lim x → 5 ⁡ x - lim x → 5 ⁡ 2 = 5

Substituindo os valores, vamos ter que:

a * 5 5 - 2 = 5

a * 5 3 = 5

5 a = 15

a = 3

Ufa! Terminamos!

O segredo de exercícios assim é sempre lembrar dessas propriedades chave! Então já deixa anotado no seu caderninho aí e vamo que vamo!!

Bora lá resolver mais uma questãozinha?

Resposta

a = 3

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