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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo com L’Hospital

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Enunciado

Questão 4) Seja

g x = ∫ 0 sin ⁡ x sin ⁡ t 2 d t

Encontre o valor de

lim x → 0 + ⁡ g x x 3

Sugestão: Não tentar calcular a integral.

Passo 1

Leu a sugestão, não tente calcular a integral, pois você não vai conseguir (por causa do t 2 , não tem solução analítica).

Então teremos que arrumar métodos alternativos:

Não sabemos calcular aquela integral, mas derivar a gente consegue, então se para calcular o limite...

lim x → 0 + ⁡ g x x 3

Pudéssemos aplicar L’Hopital (pra derivar a g x ), estaríamos feitos. Mas será que não pode?

Vamos verificar!

Passo 2

Sabemos que o x 3 vai a 0 quando x → 0 + , mas e o g x ?

g x = ∫ 0 sin ⁡ x sin ⁡ t 2 d t

Como x → 0 + , o seno também vai

∫ 0 0 sin ⁡ t 2 d t

Como o sin ⁡ t 2 é contínua...

∫ 0 0 sin ⁡ t 2 d t = 0

Então sim, quando x vai a 0 , o limite...

lim x → 0 + ⁡ g x x 3

Vai para uma indeterminação 0 / 0 . Como você já deve saber, 0 / 0 não é 0 , mas é uma indeterminação onde estamos permitidos aplicar L’Hopital :D

Passo 3

Esse teorema nos iguala...

lim x → 0 + ⁡ g x x 3 = lim x → 0 + ⁡ g x ' x 3 ' =

lim x → 0 + ⁡ g x ' 3 x 2

Temos que derivar a g e que bom neh, pois isso a gente sabe pelo Teorema fundamental do cálculo...

g x = ∫ 0 sin ⁡ x sin ⁡ t 2 d t               →  

g ' x = sin ⁡ sin ⁡ x 2 ⋅ sin ⁡ x '   →

g ' x = cos ⁡ x sin ⁡ sin 2 ⁡ x

Logo...

lim x → 0 + ⁡ g x ' 3 x 2 = lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x sin ⁡ sin 2 ⁡ x 3 x 2 =

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x ⋅ lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ sin 2 ⁡ x 3 x 2 =

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ sin 2 ⁡ x 3 x 2

Repare que ainda não conseguimos resolver esse limite direito, pois se substituirmos o x ...

sin ⁡ sin 2 ⁡ 0 3 0 2 = 0 0

Outra indeterminação!

Passo 4

Outra indeterminação? Outro L’Hopital...

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ sin 2 ⁡ x 3 x 2 = lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ sin 2 ⁡ x ' 3 x 2 ' =

Aplicando a regra da cadeia com atenção...

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ sin 2 ⁡ x ⋅ 2 sin ⁡ x ⋅ cos ⁡ x 6 x =

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ sin 2 ⁡ x ⋅ lim x → 0 + ⁡ 2 sin ⁡ x 6 x ⋅ lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x =

Novamente, como cos ⁡ x é 1 nesse limite...

lim x → 0 + ⁡ 2 sin ⁡ x 6 x = lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x 3 x

Pelo limite fundamental da trigonometria...

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x 3 x = 1 3

Então esse é o limite de

lim x → 0 + ⁡ g x x 3 = 1 3

Sacou? ;)

Passo 5

1 3

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