Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo com L’Hospital

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Enunciado

Considere as funções g x , y = x y 4 x 2 + y 8 , h x , y = x y - 1 2 + x - 1 2 x - 1 2 + y - 1 2 e f x , y = g x , y + h x , y .

(a) Determine se existe o limite g x , y   . Justifique.

(b) Sabendo que existe, calcule o valor do limite h x , y   .

(c) Encontre o valor de a de modo que, definindo f 1,1 = a , a função f seja contínua em 1,1 . Justifique.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão foi dada três funções g x , y , h x , y e f x , y .

No item a) temos que calcular o limite de g x , y quando x , y tende a 0,0 e verificar se o limite existe.

Já no item b) vamos calcular o limite de h x , y quando x , y tende a 1,1 .

E por fim, no item c), temos que obter o valor de a , tal que f 1,1 = a para que a função seja contínua nesse ponto.

E aí? Como vamos calcular esses itens?

Nos itens a) e b) já esta explicito o que temos que fazer. Vamos usar nossos conhecimentos em limites de funções para descobrir se o limite existe e para descobrir o valor que h x , y tende quando aproximamos do ponto 1,1 .

Já no item c) vamos usar o cálculo de limites para descobrir o valor que f tende quando nos aproximamos de 1,1 fazendo a função ser contínua nesse ponto.

Entendeu? Bora começar?!

Passo 2

Primeiro vamos calcular o item a).

Vamos verificar se existe

x y 4 x 2 + y 8  

Se substituirmos 0,0 direto na função, vamos obter

x y 4 x 2 + y 8   = 0 0

Então um método muito interessante que podemos aplicar é aproximar do ponto por curvas que passam por esse ponto. Por exemplo:

Se nos aproximarmos pela reta x = y , substituímos x por y na função e calculamos o limite, veja só

y y 4 y 2 + y 8  

y 5 y 2 + y 8  

Ainda não podemos substituir, então vamos aplicar L ' H o p i t a l . Dessa forma, derivamos o numerador e o denominador da função até eliminarmos a indeterminação.

y 5 y 2 + y 8   → 5 y 4 4 y + 8 y 7   → 20 y 3 4 + 56 y 6  

Substituindo y por 0 , temos

20 y 3 4 + 56 y 6   = 0 4 + 0 = 0

Logo, vemos que para essa aproximação, o limite de g x , y para x , y → 0,0 é dado como

x y 4 x 2 + y 8   = 0

Vamos tentar por outra curva?

Passo 3

E se nos aproximarmos pela curva y = 0 ? Substituímos onde tem y por 0, ou seja

x 0 x 2 + 0   → 0 x 2  

Logo para essa curva, o limite é dado como

x y 4 x 2 + y 8   = 0

Vamos fazer mais uma aproximação! Dessa vez por x = 0

0 y 4 0 + y 8   → 0 y 8  

Com essa curva, também vemos que

x y 4 x 2 + y 8   = 0

Quanto mais curvas usarmos como aproximação, mais embasamento terá nosso resultado. Mas vamos encontrar que

x y 4 x 2 + y 8   = 0

Ou seja, o limite existe e é igual a 0

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 4

Agora no item b), vamos obter o limite de h x , y quando x , y → 1,1

x y - 1 2 + x - 1 2 x - 1 2 + y - 1 2  

Se substituirmos direto, temos

x y - 1 2 + x - 1 2 x - 1 2 + y - 1 2   = 1 1 - 1 2 + 1 - 1 2 1 - 1 2 + 1 - 1 2 = 0 0

Ou seja, temos uma indeterminação. Temos que contornar esse problema de alguma forma.

Se convertermos as coordenadas do problema para coordenadas polares e fazendo uma translação no eixo da origem do sistema, podemos dizer que

{ x - 1 = r c o s θ   y - 1 = r s e n ( θ )  

Assim, reescrevendo nossa função, temos

h x , y = x - 1 + 1 y - 1 2 + x - 1 2 x - 1 2 + y - 1 2

h r , θ = r c o s θ + 1 r s e n θ 2 + r c o s θ 2 r c o s θ 2 + r s e n θ 2

simplificando o resultado

h r , θ = r c o s θ + 1 r 2 s e n 2 θ + r 2 c o s 2 θ r 2 c o s 2 θ + r 2 s e n 2 θ

h r , θ = r 3 c o s θ s e n 2 θ + r 2 s e n 2 θ + r 2 c o s 2 θ r 2 c o s 2 θ + s e n 2 θ

h r , θ = r 2 r c o s θ s e n 2 θ + s e n 2 θ + c o s 2 θ r 2 c o s 2 θ + s e n 2 θ

Como c o s 2 θ + s e n 2 θ = 1 e simplificando r 2 do numerador com o denominador

h r , θ = r c o s θ s e n 2 θ + 1

dessa forma, nosso limite é dado como

r c o s θ s e n 2 θ + 1  

Substituindo r por 0 , temos

0 c o s θ s e n 2 θ + 1   = 1

Ou seja, o limite de h x , y quando x , y → 1,1 é

x y - 1 2 + x - 1 2 x - 1 2 + y - 1 2   = 1

Perceba que neste caso, r tende a 0 pois fizemos a translação da origem do sistema 😉

Interessante, não é? 😁

Passo 5

Por fim, vamos calcular o valor de a , tal que f 1,1 = a e faça a função f ser contínua nesse ponto.

Se f x , y = g x , y + h x , y , então

f x , y = x y 4 x 2 + y 8 + x y - 1 2 + x - 1 2 x - 1 2 + y - 1 2

Queremos saber o valor que f tende quando x , y tende a 1,1 . Ou seja, o limite de f quando x , y → 1,1

x y 4 x 2 + y 8 + x y - 1 2 + x - 1 2 x - 1 2 + y - 1 2   = a

Olhando para as propriedades de limites, vemos que o limite da soma é igual a soma dos limites, ou seja

x y 4 x 2 + y 8   + l i m x , y → 1,1 x y - 1 2 + x - 1 2 x - 1 2 + y - 1 2

O limite de h x , y para esse ponto já calculamos e foi dado como 1 .

Já substituindo o ponto 1,1 em g x , y , temos

x y 4 x 2 + y 8   = 1 1 4 1 2 + 1 8 = 1 2

Ou seja

x y 4 x 2 + y 8 + x y - 1 2 + x - 1 2 x - 1 2 + y - 1 2   = 1 2 + 1

x y 4 x 2 + y 8 + x y - 1 2 + x - 1 2 x - 1 2 + y - 1 2   = 3 2

Logo, a deve ser igual a 3 / 2 para que f x , y seja contínua!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

a) x y 4 x 2 + y 8   = 0

b) x y - 1 2 + x - 1 2 x - 1 2 + y - 1 2   = 1

c) a = 3 2

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