Responde Aí

Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo com L’Hospital

Ver Teoria

Enunciado

5) Considere as funções f x = ∫ 0 x 2 e 1 - t 2 d t e g x = ∫ 0 x + 2 π sin ⁡ t d t . Determine o valor de lim x → 0 ⁡ f x g x .

Passo 1

Pra começar, bora colocar uma função em cima da outra né, já que o enunciado pede o limite de um sobre o outro:

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 2 e 1 - t 2 d t ∫ 0 x + 2 π sin ⁡ t d t

E como todo bom limite, a primeira coisa que a gente faz é substituir e ver o que acontece. Vamos ter:

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 2 e 1 - t 2 d t ∫ 0 x + 2 π sin ⁡ t d t = ∫ 0 0 e 1 - t 2 d t ∫ 0 2 π sin ⁡ t d t = 0 0

Pô! Indeterminação! Na integral de cima, a gente acha zero porque os limites de integração são iguais e no segundo, achamos zero porque fechou um período inteiro de uma função periódica sin ⁡ t . Não vai dar pra sair dessa sem remover a indeterminação viu?

Passo 2

E pra mandar pro espaço essa indeterminação, como deu 0 0 , podemos pedir ajuda pro tio L’Hospital! Derivando em cima e em baixo, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos:

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 2 e 1 - t 2 d t ∫ 0 x + 2 π sin ⁡ t d t = lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 2 e 1 - t 2 d t ' ∫ 0 x + 2 π sin ⁡ t d t '

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 2 e 1 - t 2 d t ∫ 0 x + 2 π sin ⁡ t d t = lim x → 0 ⁡ e 1 - x 2 2 ∙ x 2 ' sin ⁡ x + 2 π x + 2 π '

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 2 e 1 - t 2 d t ∫ 0 x + 2 π sin ⁡ t d t = lim x → 0 ⁡ 2 x   e 1 - x 4 sin ⁡ x + 2 π

Daqui, a gente consegue mexer um pouco na integral se lembrarmos dessa propriedade trigonométrica:

sin ⁡ x + 2 π = sin ⁡ x

Então beleza, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 2 e 1 - t 2 d t ∫ 0 x + 2 π sin ⁡ t d t = lim x → 0 ⁡ 2 x   e 1 - x 4 sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x ∙ 2 e 1 - x 4

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 2 e 1 - t 2 d t ∫ 0 x + 2 π sin ⁡ t d t = lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x ∙ lim x → 0 ⁡ 2 e 1 - x 4

Como o primeiro limite é o limite fundamental trigonométrico, fechamos!

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 2 e 1 - t 2 d t ∫ 0 x + 2 π sin ⁡ t d t = 1 ∙ 2 e 1 - 0 = 2 e

Resposta

lim x → 0 ⁡ f x g x = 2 e

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Sem usar a regra de L’Hospital
Calcule o limite: lim x → 0 ⁡ e x 2 - cos ⁡ x x 4 Usando a regra de L’