Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo com L’Hospital

Teorema Fundamental do Cálculo

Considere f : [ 0 , ∞ ) → R definida por f x = sen ⁡ x 2 . Na figura abaixo, A t representa a área da região indicada e B t é a área do triângulo com vértices em O , P e t , 0 indicado.

Determine lim t → 0 + ⁡ A t B t .

Passo 1

Aeee. Finalmente uma questão diferentona!!

Vamos resolver essa questão com calma, começando primeiro definindo quem seriam esses A t e B t , porque só assim poderemos definir nossa estratégia de resolução, não é mesmo?

Segundo a primeira imagem, A t é a área de f x = sen ⁡ x 2 de 0 até um ponto t qualquer. Seria isso daqui:

A t = ∫ 0 t sen ⁡ x 2 d x

Já o B t é simplesmente a área do triângulo com um vértice na origem, um em t , f t e outro em t , 0 . Sua base é t e sua altura é f t , então a área do triângulo será:

B t = t . f t 2 = t sen ⁡ t 2 2

Assim, o limite que nos interessa é:

lim t → 0 + ⁡ A t B t = lim t → 0 + ⁡ ∫ 0 t sen ⁡ x 2 d x t sen ⁡ t 2 2

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Passo 2

Bem, em tããão diferentona assim, né não?

Temos de novo aquela velha história de um limite misturado com uma integral. Como sempre, vamos substituir t → 0 + e ver o que acontece:

lim t → 0 + ⁡ ∫ 0 t sen ⁡ x 2 d x t sen ⁡ t 2 2 = lim t → 0 + ⁡ ∫ 0 0 sen ⁡ x 2 d x 0 sen ⁡ 0 2

Já sabemos que integral com limites de integração iguais é nula. Então, adivinha? Caímos numa indeterminação do tipo:

= 0 0

Passo 3

Assim, como caímos numa indeterminação, podemos usar L’Hospital:

lim t → 0 + ⁡ ∫ 0 t sen ⁡ x 2 d x t sen ⁡ t 2 2 → L ' H l i m t → 0 + ( D x ∫ 0 t sen ⁡ x 2 d x D x t sen ⁡ t 2 2  

Bem, para o numerador, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo; para o denominador usamos a Regra do Produto:

lim t → 0 + ⁡ sen ⁡ t 2   D x t D x [ t ] sen ⁡ t 2 2 + t D x [ sen ⁡ t 2 ] 2 = lim t → 0 + ⁡ sen ⁡ t 2 sen ⁡ t 2 2 + 2 t 2 cos ⁡ t 2 2

= 2 lim t → 0 + ⁡ sen ⁡ t 2 sen ⁡ t 2 + 2 t 2 cos ⁡ t 2

Passo 4

Vou calcular o inverso desse limite (deixando o 2 de lado por enquanto) e depois eu desinverto o resultado e jogo nessa última expressão que achamos.

lim t → 0 + ⁡ sen ⁡ t 2 + 2 t 2 cos ⁡ t 2 sen ⁡ t 2 = 1 + lim t → 0 + ⁡ 2 t 2 cos ⁡ t 2 sen ⁡ t 2

Vamos concentrar só nesse limite que sobrou:

lim t → 0 + ⁡ 2 t 2 cos ⁡ t 2 sen ⁡ t 2 = lim t → 0 + ⁡ 2 t 2 tg ⁡ t 2 = 0 0

Podemos usar L’Hospital nele, já que caímos em outra indeterminação:

lim t → 0 + ⁡ 2 t 2 tg ⁡ t 2 → L ' H lim t → 0 + ⁡ 2 t 2 ' tg ⁡ t 2 '

= lim t → 0 + ⁡ 2 2 t 2 t sec 2 ⁡ t 2 = lim t → 0 + ⁡ 2 sec 2 ⁡ t 2

= 2 1 2 = 2

Passo 5

Muita calma nessa hora pra não se confundir. Lembrando, vimos que a resposta da questão é:

2 lim t → 0 + ⁡ sen ⁡ t 2 sen ⁡ t 2 + 2 t 2 cos ⁡ t 2

Deixamos o 2 de lado, e focamos no limite

lim t → 0 + ⁡ sen ⁡ t 2 sen ⁡ t 2 + 2 t 2 cos ⁡ t 2

E a gente viu que o inverso desse limite é:

1 + lim t → 0 + ⁡ 2 t 2 cos ⁡ t 2 sen ⁡ t 2 = 1 + 2 = 3

Ou seja, desinvertendo:

lim t → 0 + ⁡ sen ⁡ t 2 sen ⁡ t 2 + 2 t 2 cos ⁡ t 2 = 1 3

Agora é só multiplicar por 2 pra chegar na resposta final:

2 lim t → 0 + ⁡ sen ⁡ t 2 sen ⁡ t 2 + t cos ⁡ t 2 = 2 1 3 = 2 3

E essa é, finalmente, a nossa resposta! :)

Resposta

lim t → 0 + ⁡ A t B t = 2 3

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