Exercícios Resolvidos de TL Composta

Ver Teoria

Enunciado

Seja T : U ⟶ U uma transformação linear. Usaremos as notações T 2 = T ∘ T e T 3 = T ∘ T ∘ para denotar composições de T . Suponha que:

  1. T 3 v = 0 para todo v ∈ U ,
  2. Existe v 0 ∈ U tal que T 2 v 0 ≠ 0

Chamamos esse tipo de transformação de nilpotente de ordem 3 .

a   Mostre que N u c T ⊂ N u c ( T 2 ) .

Passo 1

Letra ( a )

Vamos considerar um vetor genérico do núcleo de T , u ∈ U .

Então se u ∈ N u c ( T ) , sabemos que:

T u = 0 ⇒ T T u = T 0 ⇒ T 2 u = 0

Logo podemos perceber que os vetores que zeram T são os mesmos que zeram T 2 , então:

N u c T = N u c T 2 = { u }

Passo 2

-

E como uma igualdade é a mesma coisa que:

N u c T ⊂ N u c T 2

N u c T ⊃ N u c T 2

Então, podemos dizer que N u c T ⊂ N u c T 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam T 1 : M 22 → R e T 2 : M 22 → M 22 as transformações lineares dadas por T 1 A = t r ( A ) e T 2 A = A T .Encontre T 1 ∘ T 2 A com A = a b c d .Você consegue encontrar T 2 ∘ T 1 A ? Explique.
Em cada parte, seja T : R 2 → R 2 a multiplicação por A . Determine se T tem uma inversa; se tiver, encontre. T - 1 x 1 x 2 A = 5 2 2 1 A = 6 - 3 4 - 2 A = 4 7 - 1 3
Seja F o operador linear do R 2 cuja matriz em relação à base B = 1,0 , 1,4 é F B = 1 1 5 1 Determinar a matriz de F em relação à base canônica, usando a fórmula de mudança de base para um operador.
Determinar as matrizes das seguintes transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços: F ∈ L R 3 , R 2 definida por F x , y , z = x + y , z F ∈ L R 2 , R 3 definida por F
Seja T um operador linear de um espaço vetorial V de dimensão 2 . Se a matriz de T em relação a uma certa base B de V é a b c d Mostrar que T 2 - a + d T + a d - b c I = 0 (operador nulo)