Exercícios Resolvidos de TL Composta

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Enunciado

As transformações S : R 2 → R 3 e T : R 3 → R 2 são tais que S x , y = y , x - y , 2 x + 2 y e T x , y , z = ( x , y ) .

a Sendo B = 1,0 , - 1 , 1,1 , 1 , 1,0 , 0 uma base do R 3 , determinar a matriz S ∘ T B .

b   Determinar T ∘ S B '   e   T ∘ S B ' ' sendo B ' = 1,1 , 0 , - 1 e B ' ' a base canônica.

Passo 1

a O enunciado já definiu uma base para o R 3 , mas não para o R 2 , então vamos usar a base canônica:

A = 1,0 , 0,1

Como queremos S ∘ T B , precisamos achar as matrizes que representam T e S .

Passo 2

Começando por T , aplicamos a transformação aos vetores da base B do domínio R 3 :

T 1,0 , - 1 = ( 1,0 )

T 1,1 , 1 = ( 1,1 )

T 1,0 , 0 = ( 1,0 )

Como estamos usando a base canônica no contra domínio de T , basta jogarmos esses vetores como colunas de uma matriz:

T A ← B = 1 1 1 0 1 0

Passo 3

Agora para S , aplicamos a transformação na base A do domínio R 2 :

S 1,0 = ( 0,1 , 2 )

S 0,1 = ( 1 , - 1,2 )

Passamos esses vetores para a base B do contra domínio R 3 :

0,1 , 2 = a 1,0 , - 1 + b 1,1 , 1 + c 1,0 , 0

a + b + c = 0 ⇒ c = 0 b = 1 - a + b = 2 ⇒ a = - 1

1 , - 1,2 = a 1,0 , - 1 + b 1,1 , 1 + c 1,0 , 0

a + b + c = 1 ⇒ c = 5 b = - 1 - a + b = 2 ⇒ a = - 3

Logo:

0,1 , 2 B = - 1,1 , 0

1 , - 1,2 B = - 3 , - 1,5

Jogando esses vetores como colunas de uma matriz, temos que:

S B ← A = - 1 - 3 1 - 1 0 5

Passo 4

Por fim,

S ∘ T B = S B ← A × T A ← B = - 1 - 3 1 - 1 0 5 × 1 1 1 0 1 0 = - 1 - 4 - 1 1 0 1 0 5 0

Passo 5

b Vamos começar por T ∘ S B ' Dessa vez a base do R 2 foi dada:

B ' = 1,1 , 0 , - 1

Portanto, tomamos como base do R 3 a canônica:

A = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1

Passo 6

Primeiro S . Aplicamos a transformação nos vetores da base B ' do domínio R 3 :

S 1,1 = 1,0 , 4

S 0 , - 1 = - 1,1 , - 2

Como estamos usando a base canônica no contra domínio de S , basta jogarmos esses vetores como colunas de uma matriz:

S A ← B ' = 1 - 1 0 1 4 - 2

Passo 7

Agora T . Aplicamos a transformação na base A do domínio R 3 :

T 1,0 , 0 = 1,0

T 0,1 , 0 = 0,1

T 0,0 , 1 = 0,0

Passamos esses vetores para a base B ' do contra domínio R 2 :

1,0 = 1 1,1 + 1 0 , - 1

0,1 = 0 1,1 - 1 0 , - 1

0,0 = 0 1,1 + 0 0 , - 1

Logo:

1,0 B ' = 1,1  

0,1 B ' = 0 , - 1

0,0 B ' = 0,0

Jogando esses vetores como colunas de uma matriz, temos que:

T B ' ← A = 1 0 0 1 - 1 0

Passo 8

Finalmente,

T ∘ S B ' = T B ' ← A × S A ← B ' = 1 0 0 1 - 1 0 × 1 - 1 0 1 4 - 2 = 1 - 1 1 - 2

Passo 9

Força que tá acabando gente! Agora vamos achar T ∘ S B ' ' com a base do R 2 canônica:

B ' ' = 1,0 , 0,1

Novamente, tomamos como base do R 3 a canônica:

A = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1

Passo 10

Primeiro S . Como as bases do domínio e do contra domínio são as canônicas, temos:

S x , y = y x - y 2 x + 2 y = 0 1 1 - 1 2 2 x y

Portanto,

S A ← B ' ' = 0 1 1 - 1 2 2

Passo 11

Agora T . Novamente, as bases do domínio e do contra domínio são as canônicas, então:

T x , y , z = x y = 1 0 0 0 1 0 x y z

Logo:

T B ' ' ← A = 1 0 0 0 1 0

Passo 12

Pra terminar,

T ∘ S B ' ' = T B ' ' ← A × S A ← B ' ' = 1 0 0 0 1 0 × 0 1 1 - 1 2 2 = 0 1 1 - 1

Resposta

a   - 1 - 4 - 1 1 0 1 0 5 0

b T ∘ S B ' = 1 - 1 1 - 2

T ∘ S B ' ' = 0 1 1 - 1

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