Exercícios Resolvidos de TL Inversa

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Enunciado

Sabendo que:

T : R 3 ⟶ V

T x , y , z = x + y 0 0 x + y

S a 0 0 d = a , 0 , a

S :   V ⟶ R 3

Tal que V é o espaço vetorial abaixo:

V = A ∈ M 2 × 2 a 12 = a 21 = 0 }

Foi perguntado a Vitinho se T era a inversa de S , T = S - 1 . Assim, Vitinho respondeu:

“Sim, pois se compormos T com S vamos ter:

T S a 0 0 d = T a , 0 , a = a + 0 0 0 a + 0 = a 1 0 0 1

Assim,

T ∘ S = I d

E, portanto, pela definição T = S - 1 .”

Sabendo que Vitinho está errado, encontre o erro e apresente uma nova solução para que S = T - 1 .

Passo 1

Podemos ver que Vitinho não sabia a definição corretamente de uma transformação inversa. Ele confundiu a matriz identidade com a transformação identidade.

Além disso, mesmo que fosse a função identidade deveríamos ter I d u = u e não foi o que aconteceu, já que a matriz que “entrava” pelo domínio era a 0 0 d ≠ a 0 0 a .

Passo 2

Para consertar o erro, devemos restringir o domínio de S para:

V = A ∈ M 2 × 2 a 12 = a 21 = 0   e   a 11 = a 22 }

Assim teríamos:

T S a 0 0 a = T a , 0 , a = a + 0 0 0 a + 0 = a 0 0 a

E, portanto:

T ∘ S a 0 0 a = I d a 0 0 a = a 0 0 a

Para:

I d : V ⟶ V

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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