Exercícios Resolvidos de TL Inversa

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Enunciado

Três dados são lançados e os valores obtidos, a, b e c, compõem a matriz A = 1 4 a 2 5 b 2 3 6 c . Qual é a probabilidade de A não ser invertível? (Os dados têm seis faces numeradas de 1 a 6, todas com a mesma probabilidade de ocorrência).

(a) 2 chances em 216

(b) 12 chances em 216

(c) 15 chances em 216

(d) 25 chances em 216.

Passo 1

O enunciado quer que a gente analise as possíveis combinações de a, b e c para que a matriz A não seja invertível.

É equivalente dizer:

  • A é não invertível
  • A possui colunas ou linhas LD
  • N u c A ≠ { 0 }

Nesse caso, vai ser mais fácil forçarmos uma condição para que as linhas de A sejam LD.

Vamos começar escalonando a matriz.

Passo 2

Escalonando:

Passo (i): L 2 ← L 2 + ( - 2 ) L 1 e L 3 ← L 3 + ( - 3 ) L 1

Passo (ii):   L 3 ← L 3 + ( - 2 ) L 2

Para que as linhas sejam LD, a última teria que ser toda igual a zero. Logo:

- 3 a + c + 4 a - b = 0 ⇒ a + c - b = 0

c = b - a

Passo 3

Então, para valores de a, b e c que satisfaçam a relação acima, as linhas serão LD e a matriz não será invertível.

Como os valores de a, b e c vêm de um dado, eles estão restritos a números de 1 a 6.

Então, vamos montar uma tabela, vendo os valores possíveis para cada uma dessas incógnitas que satisfaçam a relação.

Vamos ficar com algo mais ou menos assim:

Temos então 15 combinações possíveis para a, b e c que satisfazem a relação que achamos antes.

No total, temos 6 x 6 x 6 = 216 combinações possíveis para a, b e c (6 valores para a, 6 para b e 6 para c).

Portanto, a probabilidade de a matriz A não ser invertível é de 15 em 216.

Passo 4

Resposta

(c) 15 chances em 216

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