Exercícios Resolvidos de TL Inversa

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Enunciado

Quais são todos os valores de a ∈ R para os quais o operador linear T : R 3 → R 3 dado por T x , y , z = a x + 2 a y + z , a y + 2 z , a x + y - z é invertível?

( a ) a ≠ 0

( b ) a ∉ 0 , - 1

( c ) a ∉ 0,1

( d ) a qualquer

Passo 1

Para que a T L seja invertível, ela precisa ser bijetiva. Como as dimensões do domínio e do contra domínio são iguais, basta que ela seja sobrejetiva ou injetiva para que ela seja sobrejetiva. Então vamos achar a que torne T sobrejetiva.

T x , y , z = a x + 2 a y + z , a y + 2 z , a x + y - z

T = a 2 a 1 0 a 2 a 1 - 1

Como as dimensões do domínio e do contra domínio são iguais, para T ser injetiva, basta que as linhas ou as colunas da matriz sejam L I . Então vamos escalonar:

a 2 a 1 0 a 2 a 1 - 1 → L 3 ← L 3 - L 1 a 2 a 1 0 a 2 0 1 - 2 a - 2 → L 3 ← L 3 + 2 L 2 a 2 a 1 0 a 2 0 1 2

→ L 2 ← L 2 - L 3 L 1 ← L 1 - L 3 2 a 2 a - 1 2 0 0 a - 1 0 0 1 2 → L 1 ← L 1 - 2 L 2 a 3 2 0 0 a - 1 0 0 1 2

Repare que se a = 1 teremos uma linha zerada, logo A não será sobrejetiva. Se a = 0 , a primeira linha será múltipla da segunda, então a matriz também não será sobrejetiva.

Para qualquer outro valor real que a assuma, as linhas serão L I e a matriz será sobrejetiva e portanto inversível. Então temos que a ∉ 0,1

Resposta

Letra ( c )

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Sejam A e B matrizes semelhantes. Prove: A T e B T são semelhantes.Se A e B forem invertíveis, então A - 1 e B - 1 são semelhantes.
Sejam T A : R 3 → R 3 , T B : R 3 → R 3 e T C : R 3 → R 3 as reflexões nos planos x y ,x zey z , respectivamente. Verifique a Fórmula (8) com esses operadores.
Sejam T 1 : P 2 → P 3 e T 2 : P 3 → P 3 os operadores lineares dados pelas fórmulas T 1 p x = x p ( x ) eT 2 p x = p x + 1 Encontre fórmulas para T 1 - 1 x ,y , T 2 - 1 x ,y , T 2 ∘ T 1 - 1 ( x ,y ) V
Prove: se T : V → W for uma transformação linear injetora, então T - 1 : I m T → V é uma transformação linear injetora.
T 1 : R 2 → R 2 é a reflexão no eixo x e T 2 : R 2 → R 2 é a reflexão no eixo y . T 1 : R 2 → R 2 é a projeção ortogonal no eixo x e T 2 : R 2 → R 2 é a rotação anti-horária pelo ângulo θ . T 1 : R 3