Exercícios Resolvidos de TL Inversa

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Enunciado

Seja A uma matriz injetiva. Sejam 1 ,   2 T e 2 ,   - 1 T soluções dos sistemas A x = 1,0 , 3 T e A x = 2,1 , 7 T respectivamente. A solução de A x = 0 , - 1 , - 1 T   é :

(a) 0 ,   5 T

(b) 1 ,   4 T

(c) - 1 ,   4 T

(d) 2 ,   6 T

Passo 1

Se 1 ,   2 T e 2 , - 1 T são respectivamente soluções dos sistemas A x = 1,0 , 3 T e A x = 2,1 , 7 T , então:

A 1,2 T = 1,0 , 3 T

A 2 , - 1 T = 2,1 , 7 T

Beleza, vamos aplicar a inversa da matriz A dois lados dessas equações:

A - 1 A 1,2 T = A - 1 1,0 , 3 T ⇒ 1,2 T = A - 1 1,0 , 3 T

A - 1 A 2 , - 1 T = A - 1 2,1 , 7 T ⇒ 2 , - 1 T = A - 1 2,1 , 7 T

Queremos saber a solução de:

A x = 0 , - 1 , - 1 T

Vamos fazer a mesma coisa e aplicar a inversa dos dois lados dessa equação:

A - 1 A x = A - 1 0 , - 1 , - 1 T

∴ x = A - 1 0 , - 1 , - 1 T

Agora vamos fazer algo parecido com o que a gente já fazia antes com transformações lineares, mas com a matriz inversa!

Passo 2

Vamos escrever 0 , - 1 , - 1 como CL de 1,0 , 3 e ( 2,1 , 7 ) :

0 , - 1 , - 1 = a 1,0 , 3 + b 2,1 , 7

0 , - 1 , - 1 = a + 2 b , b , 3 a + 7 b

a + 2 b = 0 b = - 1 3 a + 7 b = - 1

Da segunda equação já temos o valor de b:

b = - 1

Substituindo na primeira ou na terceira equação, encontramos:

a = 2

Então:

0 , - 1 , - 1 = 2 1,0 , 3 - 1 2,1 , 7

Passo 3

Aplicando a inversa dos dois lados:

A - 1 0 , - 1 , - 1 = A - 1 2 1,0 , 3 - 1 2,1 , 7

Se A é uma transformação linear, então a inversa de A também é linear:

A - 1 0 , - 1 , - 1 = 2 A - 1 1,0 , 3 - A - 1 ( 2,1 , 7 )

Substituindo o que tínhamos achado no passo 1:

A - 1 0 , - 1 , - 1 = 2 1,2 - 1 2 , - 1

A - 1 0 , - 1 , - 1 = 0,5

E essa é a nossa resposta!

Passo 4

Pra finalizar, só uma observação sobre essa questão.

pra resolvê-la, saímos usando a inversa sem se preocupar se ela existia ou não.

Vamos verificar nesse caso que a inversa existe.

A matriz A pega vetores do R 2 e transforma em vetores do R 3 ,   logo é uma transformação R 2 → R 3   e:

dim ⁡ d o m A = 2

A imagem de A é gerada pelos vetores ( 1,0 , 3 ) e ( 2,1 , 7 ) e esses dois vetores são LI (um não é múltiplo do outro), logo uma base para a imagem de A tem dois vetores e:

dim ⁡ I m A = 2

Usando o teorema núcleo imagem:

dim ⁡ d o m A = dim ⁡ N u c A + dim ⁡ I m A

∴ dim ⁡ N u c A = 0

Ou seja, o núcleo é trivial.

Logo, A é inversível!

Por isso podemos resolver a questão desse jeito.

Resposta

(a) 0 ,   5 T

Exercícios de Livros Relacionados

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Sejam T 1 : P 2 → P 3 e T 2 : P 3 → P 3 os operadores lineares dados pelas fórmulas T 1 p x = x p ( x ) eT 2 p x = p x + 1 Encontre fórmulas para T 1 - 1 x ,y , T 2 - 1 x ,y , T 2 ∘ T 1 - 1 ( x ,y ) V
Prove: se T : V → W for uma transformação linear injetora, então T - 1 : I m T → V é uma transformação linear injetora.
T 1 : R 2 → R 2 é a reflexão no eixo x e T 2 : R 2 → R 2 é a reflexão no eixo y . T 1 : R 2 → R 2 é a projeção ortogonal no eixo x e T 2 : R 2 → R 2 é a rotação anti-horária pelo ângulo θ . T 1 : R 3