Exercícios Resolvidos de Trabalho, Energia e Força Eletromotriz

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Enunciado

Num circuito L C com C = 64,0   μ F a corrente em função do tempo é dada por i t = 1,60 s e n ( 2500 t + 0,680 ) , onde t é dado em segundo, i em amperes e o ângulo de fase em radianos.

c )   Qual a carga máxima do capacitor

d )   Qual a energia total do circuito?

Passo 1

Fala aí gente bonita, tudo certinho?

Então, nessa questão temos o famoso circuito L C , ou seja, um circuito composto por um indutor e um capacitor. Nos é falado que a corrente no circuito varia com o tempo segundo a expressão:

i t = 1,60 s e n ( 2500 t + 0,680 )

Também é dito que a capacitância do circuito vale 64   μ F .

No item c ) precisamos determinar a carga máxima do capacitor. E, no item d ) , devemos determinar a energia total do circuito.

Pra responder essas perguntas tem algumas coisinhas bem importantes da gente lembrar. A primeira delas é qual a condição para que a carga no capacitor seja máxima. Alguém lembra?

Para a carga ser máxima, a corrente no circuito tem que ser nula. Além disso, sabemos que:

i = d Q d t

Após t = 0 a energia armazenada no indutor vai sendo transferida para o capacitor justamente por meio das cargas elétricas. Assim, para calcularmos a carga máxima no capacitor podemos fazer:

∫ 0 t 1 i d t = Q m á x

onde t 1 é o instante em que a corrente no circuito é nula.

Assim, vamos calcular em que instante t 1 isso ocorre, e depois usamos a expressão dada para a corrente e integramos para encontrar a carga máxima.

Além disso, como a corrente no circuito é nula nesse instante, a energia total no circuito será igual a energia armazenada no capacitor. Daí podemos usar:

E = Q 2 2 C

Excelente! Vamos colocar essas ideias em prática 😊

Passo 2

Bom, pra começar precisamos calcular em que instante a corrente no circuito é nula. Temos:

i t = 1,60 s e n ( 2500 t + 0,680 )

A corrente será nula quando o seno zerar. E, isso ocorre quando o argumento da função seno for igual a π . Assim:

2500 t 1 + 0,680 = π

∴ t 1 = π - 0,680 2500

Logo:

t 1 = 0,00098   s

Agora que já conhecemos o tempo t 1 em que a corrente zera, podemos calcular a carga máxima armazenada no capacitor:

Q m á x =   ∫ 0 t 1 i t d t

Substituindo a expressão de i ( t ) nessa fórmula, temos:

Q m á x = ∫ 0 t 1 1,60 s e n ( 2500 t + 0,680 ) d t  

= 1,60 ⋅ ∫ 0 t 1 s e n 2500 t + 0,680 d t

Vamos chamar:

u = 2500 t + 0,680

⇒ d u = 2500 d t

Ajeitando os intervalos de integração:

∴ u 1 = 2500 t 1 + 0,680

u 1 = 2,46

E:

u 0 = 2500 ⋅ 0 + 0,680 = 0,680

Assim, fazendo a mudança de variável na integral:

Q m á x = 1,60 ⋅ 1 2500 ∫ 0,680 2,46 s e n ( u ) d u

Logo:

Q m á x = 1,6 2500 ⋅ cos ⁡ 0,680 - cos ⁡ 2,46

∴ Q = 0,0009947   C

Ou:

Q m á x = 994,7   μ C

Muito bom gente 😊

Passo 3

Aqui no item d ) precisamos determinar a energia total armazenada no circuito.

Como comentamos no passo 1 , no momento em que a corrente é nula, a carga no capacitor é máxima, e toda a energia do circuito está armazenada no capacitor.

Como já conhecemos a carga máxima, Q m á x , do capacitor, podemos calcular a energia total no circuito usando:

E t o t a l = Q m á x 2 2 C

Assim, substituindo as informações vamos ter:

E t o t a l = 994 ⋅ 10 - 6 2 2 ⋅ 64 ⋅ 10 - 6

Logo:

E t o t a l = 0,0078   J

Ou:

E t o t a l = 7,8   m J

Aeee, matamos mais uma questão gente!

Vocês curtiram a solução? Responde AÍ!

Resposta

a )   994,7   μ C

b )   7,8   m J

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