Exercícios Resolvidos de Trabalho, Energia e Força Eletromotriz

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Enunciado

Uma espira quadrada de lado b , é girada com uma frequência f constante num campo magnético uniforme B → , entrando no plano da página, como mostra a figura abaixo. Considere a resistência total do sistema igual a R . Calcule:

a ) A força eletromotriz ( f e m ) induzida na espira.

b ) A máxima f e m induzida na espira.

c ) A corrente induzida na espira. No momento em que a espira começa a girar, qual o sentido da corrente induzida (horário ou anti-horário), considere o início igual ao desenho abaixo.

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bem?

Nessa questão temos um probleminha sobre força eletromotriz induzida. Basicamente, temos uma espira que está girando em uma região de campo magnético constante B → , e que está conectada a um circuito de resistência R . O enunciado nos faz algumas perguntas sobre a f e m induzida, a máxima f e m induzida, e a corrente induzida na espira.

Para responder essas perguntas é fundamental lembrarmos da Lei de Faraday.

ε = - d ϕ B d t

E, também, devemos lembrar que o fluxo magnético é dado por:

∫ ∫ S B → ⋅ d A →

Onde B → é o campo magnético atuando na espira, S é a superfície delimitada pela espira, e A é a área da mesma.

Como no nosso enunciado o campo magnético é constante, essa expressão se reduz a:

∫ ∫ S B → ⋅ d A → = B →   c o s θ ⋅ ∫ ∫ S d A →

Mas, essa integral a área total da espira. Logo:

ϕ B = B A c o s θ

Então pessoal, o nosso fluxo vai estar variando com o tempo justamente porque o ângulo da área com o campo está variando. Isso irá gerar a f e m induzida.

Daí, vamos escrever θ em função do tempo para usarmos a lei de Faraday e calcular a f e m induzida.

Passo 2

No item a ) , precisamos determinar a f e m ,   ε , induzida.

Pra começar, vamos escrever a expressão do fluxo do campo magnético em função do tempo.

Como a espira está girando, com uma frequência f , temos que:

ω = 2 π f

Como essa velocidade angular é constante, temos:

θ = θ 0 + 2 π f ⋅ t

Inicialmente, o ângulo entre o campo magnético e a espira é de π . Assim:

θ = π + 2 π f t

Logo, como o fluxo magnético é dado por:

ϕ B = B A c o s θ

Substituindo o valor de θ , vem:

ϕ B = B A ⋅ cos ⁡ π + 2 π f t

Assim, usando a lei de Faraday, temos:

ε =   - d ϕ B d t

=   - d B A ⋅ cos ⁡ π + 2 π f t d t

Como B e A são constantes:

ε = - B A ⋅ d ( cos ⁡ π + 2 π f t ) d t

Logo:

ε =   - B A ⋅ - s e n π + 2 π f t ⋅ 2 π f

∴ ε = 2 π f B A ⋅ s e n ( π + 2 π f t )

Como a área da espira é dada por:

A = b 2

Finalizamos a f e m induzida com:

ε = 2 π f B b 2 ⋅ s e n ( π + 2 π f t )  

Muito bom!

Passo 3

No item b ) precisamos determinar a f e m máxima induzida.

Ué, como assim máxima?

Então, é que como a gente viu no item anterior, a f e m induzida varia com o tempo, segundo a expressão:

ε = 2 π f B b 2 ⋅ s e n π + 2 π f t

Assim, precisamos verificar o valor máximo dessa expressão.

Mas, como a dependência dela com o tempo está apenas no argumento do seno, e sabemos que a função seno varia entre - 1 e + 1 , podemos afirmar que a f e m será máxima quando o seno for máximo. Logo, temos:

ε m á x = 2 π f B b 2 ⋅ 1

∴ ε m á x =   2 π f B b 2

Aeee! Tudo tranquilo até aqui?

Passo 4

Pra finalizar, precisamos determinar o valor da corrente no circuito, bem como o seu sentido assim que a espira começa a girar. Então, pra determinar a corrente basta usarmos a 1 ° lei de Ohm:

ε = R e q ⋅ i

Como no nosso circuito temos apenas um resistor de resistência R , temos:

R e q = R

Assim:

ε = R ⋅ i

∴ i = ε R

Substituindo o valor que encontramos para ε , temos:

i = 2 π f B b 2 ⋅ s e n π + 2 π f t R

Agora precisamos apenas determinar o sentido da corrente.

Pela Lei de Lenz, o sentido da corrente induzida produzir um fluxo magnético que se oponha a variação do fluxo que gerou a corrente.

ÉOQ? HAHA

Calma, se temos uma variação do fluxo aumentando, a corrente induzida por essa variação deve produzir um fluxo oposto a esse aumento. Se o fluxo estiver diminuindo, a corrente induzida por essa variação deve produzir um fluxo que se oponha a essa diminuição, sacou?

A ideia é que a corrente induzida vai gerar um fluxo que tente fazer tudo voltar a ser como era antes.

Assim, na nossa espira, quando ela começa a girar o fluxo que está passando na espira diminui. Dessa forma, a corrente gerada precisa compensar essa diminuição fazendo o fluxo aumentar. Ou seja, precisamos de uma corrente no circuito que provoque um aumento de fluxo no mesmo sentido que estava antes.

Em outras palavras, queremos que a corrente faça o fluxo aumentar entrando no plano da espira. Usando a regra da mão direita, basta que a corrente esteja no sentido horário. Assim, quando “agarrarmos” a espira, o polegar irá apontar para dentro dela (o que representa o sentido do campo magnético).

Sacaram a ideia?

Então é isso pessoal, muito obrigado pela atenção e até a próxima 😊

Resposta

a )   ε = 2 π f B b 2 ⋅ s e n ( π + 2 π f t )    

b )   ε m á x =   2 π f B b 2  

c )   i = 2 π f B b 2 ⋅ s e n π + 2 π f t R     ( s e n t i d o   h o r á r i o )

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