Exercícios Resolvidos de Trabalho, Energia e Força Eletromotriz

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Enunciado

Um indutor L , um resitor r e uma fonte de f e m ε são ligados em série a uma chave S . Em t = 0 a chave é fechada neste instante é zero. Depois de um tempo t qual será a tensão no indutor?

  1. ε exp ⁡ - t L / R
  2. ε ( 1 - exp ⁡ - t L / R )  
  3. ε exp ⁡ - t R / L
  4. ε ( 1 + exp ⁡ - t R / L )  
  5. ε ( 1 - exp ⁡ - t R / L )  

Passo 1

Antes do t = 0 , temos aqui o seguinte circuito...

Assim que a chave fecha em t = 0 ...

Surge no circuito uma corrente I que pela Lei das Malhas de Kirchhoff gera queda de tenção no resistor ( V R = R I ) e no indutor ( V L )...

- E + V R + V L = 0

Se lembrando de que a tensão em cima de um indutor é L   d I / d t ...

- E + R I + L d I d t = 0

Bem, então temos que encontrar a corrente através dessa equação e depois, como queremos a expressão para a tensão em cima do indutor ( V L ), bastará derivar e multiplicar por L ...

V L = L d I d t

Passo 2

Então vamos lá! Vamos primeiro resolver a EDO...

- E + R I + L d I d t = 0

Repare que podemos dar uma arrumada nessa EDO...

d I d t + R L I = E L

E ARRA! Essa é uma EDO típica Linear de primeira ordem:

d I d t + p t I = q t

Onde a solução pode ser encontrada pela fórmula do fator integrante F...

F = e ∫ p t d t     →

F = e ∫ R L d t     →

F = e R L t    

A fórmula solução de acordo com as nossas técnicas de solução de EDO linear será então...

I = 1 F ∫ F ⋅ q t d t + C     →

I = 1 e R L t ∫ e R L t ⋅ E L d t + C     →

I = 1 e R L t E L ∫ e R L t d t + C     →

Como a integral de exponencial e a t é e a t / a ...

I = 1 e R L t E L e R L t R L + C     →

I = 1 e R L t E R e R L t + C     →

Simplificando então...

I = E R + C e - R L t  

POW! C é uma constante que surge da solução da EDO e que sempre pode ser encontrada sabendo uma condição inicial. No nosso caso, por exemplo, sabemos que no tempo t = 0 , a corrente que atravessa o indutor é 0 porque é exatamente quando a chave S se fecha, saca?

Então...

I 0 = E R + C e 0     →

0 = E R + C     →

C = - E R    

Portanto, a corrente que circulará no circuito vai ser...

I = E R - E R e - R L t  

Passo 3

Para encontrar V L então, de acordo com o passo 1...

V L = L d I d t     →

V L = L d d t E R - E R e - R L t     →

Derivando...

V L = L d d t - E R e - R L t     →

V L = - L E R   d d t e - R L t     →

V L = - L E R   e - R L t - R L     →

V L = - L E R   e - R L t - R L     →

V L = E   e - R L t  

Outra forma de falar isso é...

V L = ε exp ⁡ - t R / L

Resposta

Letra C

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