Exercícios Resolvidos de Transformada de Derivadas

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Enunciado

( a ) Calcule a transformada de Laplace da função

f t = e - 10 t t

sabendo que L t = π / 2 s 3 / 2   , s > 0 .

Sugestão: 1 t = 2 d d t t .

Passo 1

Bom, já temos a transformada da t , então vamos buscar a de 1 / t .

Tá lembrado dessa propriedade de transformada de Laplace da derivada? Se L x ( t ) = X ( s ) , então L x ' ( t ) = s X s - x ( 0 ) .

Beleza, nesse caso, x t = t . Então: X s = π / 2 s 3 / 2 (sempre para s > 0 ).

Agora, x ' t = d d t t = 1 2 t (olhe a dica!). Logo:

L x ' ( t ) = s X s - x ( 0 )

L 1 2 t   = s . π / 2 s 3 2 - 0

1 2 . L 1 t   = π 2 s

L 1 t   = π / s

Passo 2

Falta adicionar a parcela do e - 10 t , certo? Então usamos a propriedade de exponencial no tempo:

L e a t x ( t ) = X s - a

Neste caso, a = - 10 , logo:

L 1 t   . e - 10 t = π s + 10

L f ( t ) = π s + 10

Resposta

L f ( t ) = π s + 10

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