Exercícios Resolvidos de Transformada de Derivadas

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Enunciado

Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformada de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Lalace sendo utilizada em cada passo.

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 2 δ t - 2 + 5 e t

y 0 = 1

y ' 0 = 0

Passo 1

Fala povo, tudo certinho? Vamos lá? Pra começar, quando usamos transformadas, podemos fazer a transformada nos dois lados da equação:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 2 δ t - 2 + 5 e t

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 2 δ t - 2 + 5 e t

E das propriedades das transformadas, podemos ainda fazer:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 2 δ t - 2 + 5 e t

Opa, 4 transformadas! Vamos ver uma de cada vez, ok? Na ordem de leitura, usamos a propriedade 18 pra fazer a primeira transformada:

Sendo assim, temos:

y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0

Do enunciado, tiramos os valores da função para t = 0 e da sua derivada no mesmo instante:

y ' ' = s 2 Y s - s ∙ 1 - 0

y ' ' = s 2 Y s - s

Show, agora pra segunda transformada a ideia vai ser a mesma, usaremos também a regra 18 :

y ' = s Y s - y 0

y ' = s Y s - 1

2 y ' = 2 s Y s - 2

E pra terceira transformada, temos:

2 y = 2   Y s

Pras outras duas, vamos usar as propriedades 17 e 2 , respectivamente:

Sendo assim, vamos ficar com:

2 δ t - 2 = 2 e - 2 s

5 e t = 5 s - 1

Juntando tudo, temos:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 2 δ t - 2 + 5 e t

s 2 Y s - s + 2 s Y s - 2 + 2   Y s = 2 e - 2 s + 5 s - 1

E rearrumando isso, temos:

s 2 + 2 s + 2   Y s - s - 2 = 2 e - 2 s + 5 s - 1

s 2 + 2 s + 2   Y s = 2 e - 2 s + 5 s - 1 + s + 2

Y s = 2 e - 2 s s 2 + 2 s + 2 + 5 s - 1 s 2 + 2 s + 2 + s + 2 s 2 + 2 s + 2

Ainda da pra dar mais uma simplificada. Veja que o denominador em comum é quaaaaase um trinômio quadrado perfeito. Pra chegar lá, falta a gente fazer:

s + 1 2 = s 2 + 2 s + 1

s + 1 2 + 1 = s 2 + 2 s + 2

E logo, temos:

Y s = 2 e - 2 s s + 1 2 + 1 + 5 s - 1 s + 1 2 + 1 + s + 2 s + 1 2 + 1

E nos próximos passos a gente vai se preocupar em inverter Y s pra achar y t ! Vamo que vamo!

Passo 2

Pra começar, a mesma propriedade que vimos pra transformada, vale pra transformada inversa! Ou seja galera, vamos ficar com essa fórmula linda aqui:

Y s = 2 e - 2 s s + 1 2 + 1 + 5 s - 1 s + 1 2 + 1 + s + 2 s + 1 2 + 1

- 1 Y s = - 1 2 e - 2 s s + 1 2 + 1 + 5 s - 1 s + 1 2 + 1 + s + 2 s + 1 2 + 1

y t = - 1 2 e - 2 s s + 1 2 + 1 + - 1 5 s - 1 s + 1 2 + 1 + - 1 s + 2 s + 1 2 + 1

Temos então três transformadas inversas pra achar! Pra primeira, podemos usar a propriedade abaixo:

De forma que:

- 1 2 e - 2 s s + 1 2 + 1 = 2 ∙ - 1 e - 2 s ∙ 1 s + 1 2 + 1 = 2 u 2 t f t - 2

Onde:

- 1 1 s + 1 2 + 1 = f t

Agora, pra achar esse f t acima, vamos considerar:

F s + 1 = 1 s + 1 2 + 1

F s = 1 s 2 + 1

Pra achar f ' t a partir de F s , usamos as propriedades:

Assim, para c = - 1 , temos:

- 1 1 s 2 + 1 = f ' t = sen ⁡ t

- 1 1 s - - 1 2 + 1 = - 1 1 s + 1 2 + 1 = - 1 F s - - 1 = - 1 F s + 1 = e - t sen ⁡ t

Portanto, se

f t = e - t sen ⁡ t

Então:

f t - 2 = e 2 - t sen ⁡ t - 2

E logo:

- 1 2 e - 2 s s + 1 2 + 1 = 2 ∙ u 2 t ∙ e 2 - t ∙ sen ⁡ t - 2

Passo 3

Ok eu sei, o passo anterior foi beeeeem doido, mas calma que sobraram ainda duas transformadas pra gente. Saca só:

- 1 5 s - 1 s + 1 2 + 1

- 1 s + 2 s + 1 2 + 1

A primeira vai ser um tico enrolada porque vamos precisar usar frações parciais. Olha só essa doidera:

5 s - 1 s + 1 2 + 1 = A s - 1 + B s + C s + 1 2 + 1 = A s - 1 + B s + C s 2 + 2 s + 2

Colocando todo mundo no mesmo denominador, temos:

5 s - 1 s 2 + 2 s + 2 = A s 2 + 2 s + 2 + B s + C s - 1 s - 1 s 2 + 2 s + 2

Aplicado a distributiva e cortando o denominador, ficamos com:

5 = A s 2 + 2 A s + 2 A + B s 2 - B s + C s - C

Colocando os termos em comum em evidência, temos:

0 s 2 + 0 s + 5 = A + B s 2 + 2 A - B + C s + 2 A - C

Isso gera um sisteminha doido com essa cara:

A + B = 0 2 A - B + C = 0 2 A - C = 5

Somando a primeira com a segunda equação, achamos:

3 A + C = 0 2 A - C = 5

Somando essas duas equações, temos:

5 A = 5

A = 1

E usando esse valor, achamos:

B = - 1

C = - 3

O que resulta em:

5 s - 1 s + 1 2 + 1 = 1 s - 1 - s + 3 s + 1 2 + 1

5 s - 1 s + 1 2 + 1 = 1 s - 1 - s + 1 s + 1 2 + 1 + 2 s + 1 2 + 1

5 s - 1 s + 1 2 + 1 = 1 s - 1 - s + 1 s + 1 2 + 1 - 2 s + 1 2 + 1

De forma que a transformada inversa fica:

- 1 5 s - 1 s + 1 2 + 1 = - 1 1 s - 1 - - 1 s + 1 s + 1 2 + 1 - - 1 2 s + 1 2 + 1

Dessas três doideras ai, a primeira sai direto com a propriedade abaixo:

- 1 1 s - 1 = e t

A segunda sai com as propriedades abaixo, usando c = - 1

De forma que:

- 1 s + 1 s + 1 2 + 1 = e - t cos ⁡ t

E a última sai usando as propriedades abaixo pra c = - 1 também:

De forma que:

- 1 2 s + 1 2 + 1 = 2 e - t sen ⁡ t

E assim, fechamos pelo menos esse pedaço:

- 1 5 s - 1 s + 1 2 + 1 = e t - e - t cos ⁡ t - 2 e - t sen ⁡ t

Passo 4

Quase lááááá galera, falta só uma transformada inversa:

- 1 s + 2 s + 1 2 + 1

E esse carinha, se a gente transformar ele em:

- 1 s + 2 s + 1 2 + 1 = - 1 s + 1 s + 1 2 + 1 + - 1 1 s + 1 2 + 1

Fica bem mais claro o resultado. O primeiro inclusive, já calculamos, e deu:

- 1 s + 1 s + 1 2 + 1 = e - t cos ⁡ t

O segundo também já tínhamos calculado, só que com um 2 em cima ao invés de 1 , portanto, se:

- 1 2 s + 1 2 + 1 = 2 e - t sen ⁡ t

Então

- 1 1 s + 1 2 + 1 = e - t sen ⁡ t

E assim, temos:

- 1 s + 2 s + 1 2 + 1 = e - t cos ⁡ t + e - t sen ⁡ t

Feshow então, vamos juntar tudo. A gente lá em cima viu que:

y t = - 1 2 e - 2 s s + 1 2 + 1 + - 1 5 s - 1 s + 1 2 + 1 + - 1 s + 2 s + 1 2 + 1

No passo 2 achamos:

- 1 2 e - 2 s s + 1 2 + 1 = 2 ∙ u 2 t ∙ e 2 - t ∙ sen ⁡ t - 2

No passo 3, achamos:

- 1 5 s - 1 s + 1 2 + 1 = e t - e - t cos ⁡ t - 2 e - t sen ⁡ t

E nesse passo mesmo, vimos que:

- 1 s + 2 s + 1 2 + 1 = e - t cos ⁡ t + e - t sen ⁡ t

Então juntando essa doidera toda, chegamos em:

y t = 2 ∙ u 2 t ∙ e 2 - t ∙ sen ⁡ t - 2 + e t - e - t cos ⁡ t - 2 e - t sen ⁡ t + e - t cos ⁡ t + e - t sen ⁡ t

y t = 2 ∙ u 2 t ∙ e 2 - t ∙ sen ⁡ t - 2 + e t - e - t sen ⁡ t

Ufaaaa, cabou mesmo agora em!!!

Resposta

y t = 2 ∙ u 2 t ∙ e 2 - t ∙ sen ⁡ t - 2 + e t - e - t sen ⁡ t

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