Exercícios Resolvidos de Transformada de Derivadas

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Enunciado

Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformada de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Lalace sendo utilizada em cada passo.

y ' ' + 4 y ' + 4 y = sen ⁡ t   δ t - π 2

y 0 = 1

y ' 0 = 2

Passo 1

Fala povo, tudo certinho? Vamos lá? Pra começar, quando usamos transformadas, podemos fazer a transformada nos dois lados da equação:

y ' ' + 4 y ' + 4 y = sen ⁡ t   δ t - π 2

y ' ' + 4 y ' + 4 y = sen ⁡ t   δ t - π 2

E das propriedades das transformadas, podemos ainda fazer:

y ' ' + 4 y ' + 4 y = sen ⁡ t   δ t - π 2

Opa, 4 transformadas! Vamos ver uma de cada vez, ok? Na ordem de leitura, usamos a propriedade 18 pra fazer a primeira transformada:

Sendo assim, temos:

y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0

Do enunciado, tiramos os valores da função para t = 0 e da sua derivada no mesmo instante:

y ' ' = s 2 Y s - s ∙ 1 - 2

y ' ' = s 2 Y s - s - 2

Show, agora pra segunda transformada a ideia vai ser a mesma, usaremos também a regra 18 :

y ' = s Y s - y 0

y ' = s Y s - 1

4 y ' = 4 s Y s - 4

E pra terceira transformada, temos:

4 y = 4   Y s

Então o lado esquerdo da equação ganha essa cara simpática aqui ó:

s 2 Y s - s - 2 + 4 s Y s - 4 + 4   Y s = sen ⁡ t   δ t - π 2

s 2 + 4 s + 4   Y s - s - 6 = sen ⁡ t   δ t - π 2

Agora, pra transformada que ficou faltando, do lado direito, por mais feia que ela seja, dá sim pra resolver. Só que não vai dar pra usarmos nenhuma das propriedades que a prova dá, então vamos usar a definição de transformadas:

f t = ∫ 0 ∞ e - s t f t   d t

sen ⁡ t   δ t - π 2 = ∫ 0 ∞ e - s t sen ⁡ t   δ t - π 2   d t

E pra resolver esse cara feio, precisamos ainda de uma definição importantíssima do Delta de Dirac, que é sua relação com a função degrau:

δ t - π 2 = u π 2 ' t

Te prometo que, usando isso, essa função sai! Vamos chamar aí de:

f t = e - s t sen ⁡ t

a → ∞

De forma que temos a integral:

∫ 0 a f t   δ t - π 2   d t

Pra resolver. Po, produto de funções né? Isso daí se resolve usando integração por partes! Saca só:

m = f t → d m = f ' t   d t

d n = δ t - π 2   d t → n = ∫ δ t - π 2   d t = ∫ u π 2 ' t   d t = u π 2 t

A integral fica:

∫ m   d n = m n - ∫ n   d m

∫ 0 a f t   δ t - π 2   d t = f t   u π 2 t t = 0 t = a - ∫ 0 a u π 2 t   f ' t   d t

Note que, se

u π 2 t = 1 ,     t ≥ π 2 0 ,     t < π 2

Temos

u π 2 0 = 0

u π 2 a → ∞ > π 2 = 1

De forma que, temos:

f t   u π 2 t t = 0 t = a = f a   u π 2 a - f 0   u π 2 0 = f a

E também temos esse carinha aqui ó:

∫ 0 a u π 2 t   f ' t   d t = ∫ 0 π 2 u π 2 t   f ' t   d t + ∫ π 2 a u π 2 t   f ' t   d t

∫ 0 a u π 2 t   f ' t   d t = ∫ 0 π 2 0 ∙   f ' t   d t + ∫ π 2 a 1 ∙   f ' t   d t

∫ 0 a u π 2 t   f ' t   d t = ∫ π 2 a f ' t   d t = f t t = π 2 t = a = f a - f π 2

Sendo assim, o resultado da integral vira, finalmente:

∫ 0 a f t   δ t - π 2   d t = f a - f a - f π 2

∫ 0 a f t   δ t - π 2   d t = f π 2

Ou seja:

f t = e - s t sen ⁡ t

F s = f π 2 = e - π 2 s sen ⁡ π 2

F s = e - π 2 s

Ufa, fizemos já todas as transformadas! Juntando tudo, temos:

s 2 + 4 s + 4   Y s - s - 6 = sen ⁡ t   δ t - π 2

s 2 + 4 s + 4   Y s = e - π 2 s + s + 6

Y s = e - π 2 s s 2 + 4 s + 4 + s s 2 + 4 s + 4 + 6 s 2 + 4 s + 4

Podemos ainda aproveitar que esse denominador em comum é um trinômio quadrado perfeito pra simplificar ainda mais, saca só:

s 2 + 4 s + 4 = s + 2 2

Vamos ter:

Y s = e - π 2 s s + 2 2 + s s + 2 2 + 6 s + 2 2

E nos próximos passos a gente vai se preocupar em inverter Y s pra achar y t ! Vamo que vamo!

Passo 2

Pra começar, a mesma propriedade que vimos pra transformada, vale pra transformada inversa! Ou seja galera, vamos ficar com essa fórmula linda aqui:

Y s = e - π 2 s s + 2 2 + s s + 2 2 + 6 s + 2 2

- 1 Y s = - 1 e - π 2 s s + 2 2 + s s + 2 2 + 6 s + 2 2

y t = - 1 e - π 2 s s + 2 2 + - 1 s + 6 s + 2 2

Temos então três transformadas inversas pra achar! Pra primeira, podemos usar essas propriedades abaixo:

De forma que:

- 1 e - π 2 s s + 2 2 = - 1 e - π 2 s ∙ 1 s + 2 2 = u π 2 t f t - π 2

Onde:

- 1 1 s + 2 2 = f t

E é ai que entra a propriedade 11 , pois se compararmos os denominadores s + 2 2 e s - a n + 1 , vemos que:

1 s + 2 2 ← → n ! s - a n + 1

a = - 2 n = 1

Assim, temos:

- 1 1 s + 2 2 = t n e a t = t e - 2 t

A primeira transformada inversa ta fechada então:

- 1 e - π 2 s s + 2 2 = u π 2 t f t - π 2

f t = t e - 2 t

Loooooogo:

- 1 e - π 2 s s + 2 2 = u π 2 t ∙ t - π 2 ∙ e - 2 ∙ t - π 2

- 1 e - π 2 s s + 2 2 = u π 2 t ∙ t - π 2 ∙ e π - 2 t

Passo 3

Ok eu sei, o passo anterior foi beeeeem doido, mas calma que sobrou uma transformada inversa ainda

- 1 s + 6 s + 2 2

Por sorte, esse carinha não vão dar tanta dor de cabeça pra gente, uma vez qu temos as propriedade abaixo pra ajudar:

Ok mas não é tããão parecido assim o nosso caso? Bem, se não é, bora fazer ser! Saca só:

- 1 s + 6 s + 2 2 = - 1 s + 2 + 4 s + 2 2

- 1 s + 6 s + 2 2 = - 1 s + 2 s + 2 2 + - 1 4 s + 2 2

- 1 s + 6 s + 2 2 = - 1 s + 2 s + 2 2 + 4 ∙ - 1 1 s + 2 2

Onde a primeira transformada é exatamente o caso 10 pra a = - 2 e b = 0 . Claro que podíamos ainda cortar um s + 2 em cima e outro em baixo e cair exatamente na regra:

Dá no mesmo, viu? O importante é saber que:

- 1 s + 2 s + 2 2 = e - 2 t

Agora pra transformada inversa que sobrou, na verdade, nem precisamos nos preocupar muito! Afinal, resolvemos exatamente ela no passo anterior! E tínhamos achado esse rapaz simpático aqui:

- 1 1 s + 2 2 = t e - 2 t

Então feshow, temos:

- 1 s + 6 s + 2 2 = e - 2 t + 4 t e - 2 t

Passo 4

Quase lááááá galera, falta só juntar os resultados. No início do passo 2, vimos que:

y t = - 1 e - π 2 s s + 2 2 + - 1 s + 6 s + 2 2

No fim dele, vimos que:

- 1 e - π 2 s s + 2 2 = u π 2 t ∙ t - π 2 ∙ e π - 2 t

E no fim do passo 3, vimos que:

- 1 s + 6 s + 2 2 = e - 2 t + 4 t e - 2 t

Falta o que? Nadaaa galera! Só juntar! A resposta final será:

y t = u π 2 t ∙ t - π 2 ∙ e π - 2 t + e - 2 t + 4 t e - 2 t

Resposta

y t = u π 2 t ∙ t - π 2 ∙ e π - 2 t + e - 2 t + 4 t e - 2 t

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