Exercícios Resolvidos de Transformada de Derivadas

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Enunciado

Resolva por Transformada de Laplace o seguinte problema de valor inicial, justificando todas as propriedades da tabela de Transformada de Laplace usadas.

y ' ' + 4 y = ∫ 0 t t - τ e τ d τ

Onde y 0 = 0 e y ' 0 = 0

Passo 1

Fala povo, tudo certinho? Vamos lá? Pra começar, quando usamos transformadas, podemos fazer a transformada nos dois lados da equação:

y ' ' + 4 y = ∫ 0 t t - τ e τ d τ

y ' ' + 4 y = ∫ 0 t t - τ e τ d τ

E das propriedades das transformadas, podemos ainda fazer:

y ' ' + 4 y = ∫ 0 t t - τ e τ d τ

Opa, 4 transformadas! Vamos ver uma de cada vez, ok? Na ordem de leitura, usamos a propriedade 18 pra fazer a primeira transformada:

Sendo assim, temos:

y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0

Do enunciado, tiramos os valores da função para t = 0 e da sua derivada no mesmo instante:

y ' ' = s 2 Y s - s ∙ 0 - 0

y ' ' = s 2 Y s

E pra segunda transformada, temos:

4 y = 4   Y s

Então o lado esquerdo da equação ganha essa cara simpática aqui ó:

s 2 Y s + 4   Y s = ∫ 0 t t - τ e τ d τ

s 2 + 4   Y s = ∫ 0 t t - τ e τ

Agora, pra transformada que ficou faltando, do lado direito, por mais feia que ela seja, dá sim pra resolver. Basta a gente olhar com calma as propriedades das transformadas e ver que ela encaixa direitinho na integral de convolução:

De forma que:

f t - τ = t - τ

g τ = e τ

É o mesmo que dizer:

f t = t

g t = e t

E a transformada desses cara será:

f t = F s

g t = G s

Logo, usando as propriedades abaixo, achamos:

t = F s = 1 s 2

e t = G s = 1 s - 1

Ficamos então com:

s 2 + 4   Y s = ∫ 0 t t - τ e τ = F s ∙ G s

s 2 + 4   Y s = 1 s 2 ∙ 1 s - 1

Y s = 1 s 2 ∙ 1 s - 1 ∙ 1 s 2 + 4

Passo 2

Tá galera, não acabamos, mas calma que não falta muito. O ultimo resultado é meio feio e não ajuda a gente. Não dá pra usar nenhuma propriedade de transformadas. Mas bem, se a gente usar frações parciais, talvez ajude em algo. Portanto, separando isso dessa forma:

Y s = 1 s 2 ∙ 1 s - 1 ∙ 1 s 2 + 4 = A s + B s 2 + C s - 1 + D s + E s 2 + 4

Vemos que cada termo dessa forma tem uma cara mais amigável que, quando fizermos a transformada inversa, vai sair direitinho! Falta definir quem são essas constantes. Pra isso, bora colocar todo mundo no mesmo denominador:

1 s 2 s - 1 s 2 + 4 = A s s - 1 s 2 + 4 s 2 s - 1 s 2 + 4 + B s - 1 s 2 + 4 s 2 s - 1 s 2 + 4 + C s 2 s 2 + 4 s 2 s - 1 s 2 + 4 + D s + E s 2 s - 1 s 2 s - 1 s 2 + 4

1 s 2 s - 1 s 2 + 4 = A s 2 - s s 2 + 4 s 2 s - 1 s 2 + 4 + B s - 1 s 2 + 4 s 2 s - 1 s 2 + 4 + C s 4 + 4 s 2 s 2 s - 1 s 2 + 4 + D s + E s 3 - s 2 s 2 s - 1 s 2 + 4

Removendo o denominador nos dois lados e aplicando a distributiva, temos:

1 = A s 4 + 4 s 2 - s 3 - 1 s + B s 3 + 4 s - s 2 - 4 + C s 4 + 4 C s 2 + D s 4 - D s 3 + E s 3 - E s 2

1 = A s 4 + 4 A s 2 - A s 3 - 4 A s + B s 3 + 4 B s - B s 2 - 4 B + C s 4 + 4 C s 2 + D s 4 - D s 3 + E s 3 - E s 2

Colocando os termos em comum em evidência, temos:

0 s 4 + 0 s 3 + 0 s 2 + 0 s + 1 = A + C + D s 4 + - A + B - D + E s 3 + 4 A - B + 4 C - E s 2 + - 4 A + 4 B s + - 4 B

O que gera um sistema grande, eu sei, mas vamos que vamos, olha só:

A + C + D = 0 - A + B - D + E = 0 4 A - B + 4 C - E = 0 - 4 A + 4 B = 0 - 4 B = 1

Por sorte, a última linha já ajuda a gente a beça, pois achamos:

B = - 1 4

Jogando esse valor na quarta equação, temos:

- 4 A + 4 - 1 4 = 0

- 4 A - 1 = 0

A = - 1 4

Com o valor de A , B , reduzimos o problema para:

C + D = 1 4 - D + E = 0 4 C - E = 3 4

Somando a primeira e a segunda equação, achamos:

C + E = 1 4 4 C - E = 3 4

E somand essas duas, achamos:

5 C = 4 4 = 1

C = 1 5

Com o valor de C , achamos E :

4 C - E = 3 4 →   4 5 - E = 3 4 → 16 20 - E = 15 20

E logo:

E = 1 20

Mas como:

- D + E = 0

Temos, finalmente:

D = E = 1 20

E agora que sabemos tudo, fechamos a modelagem de Y s

Y s = - 1 4 s + - 1 4 s 2 + 1 5 s - 1 + 1 20 s + 1 20 s 2 + 4

Passo 3

Ok eu sei, o passo anterior foi beeeeem doido, mas calma que sobrou só pegar a transformada inversa daquele monstrão.

y t = - 1 - 1 4 s + - 1 4 s 2 + 1 5 s - 1 + 1 20 s + 1 20 s 2 + 4

Usando as propriedades das transformadas inversas:

y t = - 1 - 1 4 s + - 1 - 1 4 s 2 + - 1 1 5 s - 1 + - 1 1 20 s + 1 20 s 2 + 4

y t = - 1 4 ∙ - 1 1 s - 1 4 ∙ - 1 1 s 2 + 1 5 ∙ - 1 1 s - 1 + 1 20 ∙ - 1 s + 1 s 2 + 4

Pra última transformada, podemos ainda separá-la, de forma a obter:

y t = - 1 4 ∙ - 1 1 s - 1 4 ∙ - 1 1 s 2 + 1 5 ∙ - 1 1 s - 1 + 1 20 ∙ - 1 s s 2 + 4 + 1 s 2 + 4

y t = - 1 4 ∙ - 1 1 s - 1 4 ∙ - 1 1 s 2 + 1 5 ∙ - 1 1 s - 1 + 1 20 ∙ - 1 s s 2 + 4 + - 1 1 s 2 + 4

y t = - 1 4 ∙ - 1 1 s - 1 4 ∙ - 1 1 s 2 + 1 5 ∙ - 1 1 s - 1 + 1 20 ∙ - 1 s s 2 + 4 + 1 2 ∙ - 1 2 s 2 + 4

O que nos deixa com:

y t = - 1 4 ∙ - 1 1 s - 1 4 ∙ - 1 1 s 2 + 1 5 ∙ - 1 1 s - 1 + 1 20 ∙ - 1 s s 2 + 4 + 1 40 ∙ - 1 2 s 2 + 4

Opa, olha que bacana, todas as 5 transformadas inversas saem diretamente das nossas propriedades. As que usaremos serão:

y t = - 1 4 - 1 4 ∙ t + 1 5 ∙ e t + 1 20 ∙ cos ⁡ 2 t + 1 40 ∙ sen ⁡ 2 t

Ufa! Cabamos!

Resposta

y t = - 1 4 - t 4 + e t 5 + cos ⁡ 2 t 20 + sen ⁡ 2 t 40

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