Exercícios Resolvidos de Transformada de Derivadas

UFRJ – Cálculo 4 – P1 2014.1 – 3b

Seja g uma função seccionalmente contínua definida sobre [ 0 , + ) cuja derivada é seccionalmente contínua e de ordem exponencial. Se, além disso, g 0 = 1 e L g t s = a r c t a n ( s ) , calcule L [ e 2 t g ' t ] ( s ) .

Passo 1

Essa questão é pura aplicação de fórmulas, você vai ver! Temos a seguinte fórmula com transformada da derivada:

L f ' s = s L f s - f 0

Logo,

L g ' t s = s L g t s - g 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo os dados do problema,

L g ' t s = s a r c t a n ( s ) - 1

Certo? Beleza.

Passo 3

Agora temos que lembrar da fórmula da transformada de uma função vezes uma exponencial, já que é o que o problema pede:

L e c t f t s = L f t ( s - c )

Se você não se lembra dessa fórmula, relaxa! Dá um pulinho lá em primeiro teorema do deslocamento.

Passo 4

Aplicando à questão:

L e 2 t g ' t s = L g ' t ( s - 2 )

Nós já temos L g ' t s , não é? Então podemos encontrar L g ' t ( s - 2 ) substituindo s por s - 2 . Temos:

L e 2 t g ' t s = ( s - 2 ) arctan ( s - 2 ) - 1

Resposta

L e 2 t g ' t s = ( s - 2 ) arctan ( s - 2 ) - 1

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