Exercícios Resolvidos de Transformada de Derivadas

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Enunciado

Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformada de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Lalace sendo utilizada em cada passo.

y ' ' + 9 y = cos ⁡ 3 t +   δ t - 3 π

y 0 = 0

y ' 0 = 3

Passo 1

Fala povo, tudo certinho? Vamos lá? Pra começar, quando usamos transformadas, podemos fazer a transformada nos dois lados da equação:

y ' ' + 9 y = cos ⁡ 3 t +   δ t - 3 π

y ' ' + 9 y = cos ⁡ 3 t +   δ t - 3 π

E das propriedades das transformadas, podemos ainda fazer:

y ' ' + 9 y = cos ⁡ 3 t + δ t - 3 π

Opa, 4 transformadas! Vamos ver uma de cada vez, ok? Na ordem de leitura, usamos a propriedade 18 pra fazer a primeira transformada:

Sendo assim, temos:

y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0

Do enunciado, tiramos os valores da função para t = 0 e da sua derivada no mesmo instante:

y ' ' = s 2 Y s - s ∙ 0 - 3

y ' ' = s 2 Y s - 3

Show, agora pra segunda transformada a ideia vai ser a mesma, usaremos também a regra 18 :

9 y = 9   Y s

Pras outras duas, vamos usar as propriedades 6 e 17 , respectivamente:

Sendo assim, vamos ficar com:

cos ⁡ 3 t = s s 2 + 9

δ t - 3 π = e - 3 π s

Juntando tudo, temos:

s 2 Y s - 3 + 9   Y s = s s 2 + 9 + e - 3 π s

E rearrumando isso, temos:

s 2 Y s + 9   Y s = s s 2 + 9 + e - 3 π s + 3

s 2 + 9   Y s = s s 2 + 9 + e - 3 π s + 3

Y s = s s 2 + 9 s 2 + 9   + e - 3 π s s 2 + 9   + 3 s 2 + 9  

Y s = s s 2 + 9 2 + e - 3 π s s 2 + 9   + 3 s 2 + 9  

E nos próximos passos a gente vai se preocupar em inverter Y s pra achar y t ! Vamo que vamo!

Passo 2

Pra começar, a mesma propriedade que vimos pra transformada, vale pra transformada inversa! Ou seja galera, vamos ficar com essa fórmula linda aqui:

Y s = s s 2 + 9 2 + e - 3 π s s 2 + 9   + 3 s 2 + 9  

- 1 Y s = - 1 s s 2 + 9 2 + e - 3 π s s 2 + 9   + 3 s 2 + 9  

y t = - 1 s s 2 + 9 2 + - 1 e - 3 π s s 2 + 9   + - 1 3 s 2 + 9  

Temos então três transformadas inversas pra achar! Pra primeira, podemos usar a propriedade da integral de convolução:

Onde:

F s = 1 s 2 + 9

G s = s s 2 + 9

E o produto desses dois será o interior da nossa primeira transformada inversa:

F s G s = s s 2 + 9 2

Sendo assim, como:

Temos:

- 1 F s = f t = sen ⁡ 3 t 3

- 1 G s = g t = cos ⁡ 3 t

A integral de convolução fica:

- 1 s s 2 + 9 2 = ∫ 0 t sen ⁡ 3 t - τ 3 cos ⁡ 3 τ   d τ

- 1 s s 2 + 9 2 = 1 3 ∫ 0 t sen ⁡ 3 t - 3 τ cos ⁡ 3 τ   d τ

Das propriedades trigonométricas, tiramos que:

- 1 s s 2 + 9 2 = 1 3 ∫ 0 t sen ⁡ 3 t cos ⁡ 3 τ - sen ⁡ 3 τ cos ⁡ 3 t cos ⁡ 3 τ   d τ

- 1 s s 2 + 9 2 = 1 3 ∫ 0 t sen ⁡ 3 t cos 2 ⁡ 3 τ - sen ⁡ 3 τ cos ⁡ 3 τ cos ⁡ 3 t   d τ

- 1 s s 2 + 9 2 = sen ⁡ 3 t 3 ∫ 0 t cos 2 ⁡ 3 τ   d τ - cos ⁡ 3 t 3 ∫ 0 t sen ⁡ 3 τ cos ⁡ 3 τ   d τ

EITA, enrolou agora! Calma galera, nada que fazer uma integral de cada vez não resolva. Pra primeira, temos:

sen ⁡ 3 t 3 ∫ 0 t cos 2 ⁡ 3 τ   d τ = sen ⁡ 3 t 3 ∫ 0 t 1 + cos ⁡ 6 τ 2   d τ =

= sen ⁡ 3 t 6 ∫ 0 t 1   d τ + ∫ 0 t cos ⁡ 6 τ   d τ

= sen ⁡ 3 t 6 t + sen ⁡ 6 τ 6   = t sen ⁡ 3 t 6 + sen ⁡ 3 t sen ⁡ 6 τ 36

= t sen ⁡ 3 t 6 + sen ⁡ 3 t 2 sen ⁡ 3 t cos ⁡ 3 t 36

= t sen ⁡ 3 t 6 + sen 2 ⁡ 3 t cos ⁡ 3 t 18

Pra segunda, temos:

cos ⁡ 3 t 3 ∫ 0 t sen ⁡ 3 τ cos ⁡ 3 τ   d τ

u = sen ⁡ 3 τ → d u = 3 cos ⁡ 3 τ d τ →   cos ⁡ 3 τ d τ = 1 3 d u

τ = t → u = sen ⁡ 3 t τ = 0 → u = sen ⁡ 0 = 0

A integral fica:

cos ⁡ 3 t 3 ∫ 0 sen ⁡ 3 t u 3   d u = cos ⁡ 3 t 9 ∙ u 2 2 u = 0 u = sen ⁡ 3 t

= sen 2 ⁡ 3 t cos ⁡ 3 t 18

Juntando essa bagunça toda, temos:

- 1 s s 2 + 9 2 = t sen ⁡ 3 t 6 + sen 2 ⁡ 3 t cos ⁡ 3 t 18 - sen 2 ⁡ 3 t cos ⁡ 3 t 18  

- 1 s s 2 + 9 2 = t sen ⁡ 3 t 6  

Passo 3

Ok eu sei, o passo anterior foi beeeeem doido, mas calma que sobraram só transformadas mais tranquilas pra gente. Saca só:

- 1 e - 3 π s s 2 + 9  

- 1 3 s 2 + 9  

A primeira sai se usarmos as propriedades

Sendo assim, temos:

- 1 e - 3 π s s 2 + 9   = u 3 π t   f t - 3 π

- 1 F s = f t = - 1 1 s 2 + 9 = sen ⁡ 3 t 3

Juntando os dois resultados acima, temos:

- 1 e - 3 π s s 2 + 9   = u 3 π t   sen ⁡ 3 t - 3 π 3

- 1 e - 3 π s s 2 + 9   = u 3 π t ∙   sen ⁡ 3 t - 9 π 3

E por último, temos:

- 1 3 s 2 + 9   = sen ⁡ 3 t

Que sai direto usando a propriedade 5 . Misturado tudo da pra ver, um resultado aparecer:

y t = - 1 s s 2 + 9 2 + - 1 e - 3 π s s 2 + 9   + - 1 3 s 2 + 9  

y t = t sen ⁡ 3 t 6 + u 3 π t ∙   sen ⁡ 3 t - 9 π 3 + sen ⁡ 3 t

Resposta

y t = t sen ⁡ 3 t 6 + u 3 π t ∙   sen ⁡ 3 t - 9 π 3 + sen ⁡ 3 t

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