Exercícios Resolvidos de Transformada de Derivadas

UNICAMP – Cálculo – P2 2013.1 – 1a

Calcule a transformada de Laplace da função:

f t = e - 10 t t

Sabendo que L t = π / 2 s 3 / 2   , s > 0 .

Sugestão: 1 t = 2 d d t t .

Passo 1

Olha na nossa tabelinha não tem a transformada de 1 / t ! Então o que podemos fazer? Bem, ainda não sei. Mas uma coisa interessante é que

  d d t t = 1 2 t

Além disso, se eu chamar f t = t , temos f 0 = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Lembra da fórmula da transformada da derivada? É essa aqui

L f ' t = s L f t s - f ( 0 )

Olha essa sacada aqui:

L t ' s = s L t s - 0

Mas olha lá no passo 1 quem é a derivada de t !

L 1 2 t s = s L [ ( t ) ] ( s )

Passo 3

Como o enunciado nos contou que

L t s = π 2 s 3 / 2    

Usando a fórmula que obtivemos no passo 2

L 1 2 t s = s L t s

L 1 2 t s = s π 2 s 3 / 2    

L 1 2 t s = π 2 s 1 / 2    

Passo 4

Lembra lá da linearidade? Se α for uma constante, podemos fazer

L α f t s = α L [ f t ] ( s )

Assim,

1 2 L 1 t s = π 2 s 1 / 2 L 1 t s = π s 1 / 2 = π s

Passo 5

Estamos quase lá! Para chegar no que ele quer falta aquela exponencial e - 10 t ! Vamos lembrar do primeiro teorema do deslocamento?

L e a t f t s = L f t s - a

Se a gente chamar a = - 10 e f t = 1 / t . Vamos ter que

L e - 10 t t s = L 1 / t s + 10

Lá do passo anterior a gente sabe quem é L 1 / t . Finalmente,

L e - 10 t t s = π s + 10

Resposta

L e - 10 t t s = π s + 10

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