Exercícios Resolvidos de Velocidade de Escape

UNICAMP-P1-2010-Q2 b

Considere um projeto de lançamento onde satélites são lançados como projéteis. Seja G a constante gravitacional, e R T e M T , o raio e a massa da Terra, respectivamente.

(a) Ignorando a atmosfera e a rotação terrestre, deduza a velocidade com que um projétil deve ser lançado para atingir uma altitude máxima de h medida a partir da superfície.

(b) Calcule a razão entre a velocidade de escape de um satélite lançado da Terra e a velocidade de escape do satélite lançado de um planeta cujo raio vale R p = 4   R T e cuja massa é M p = 9   M T

Passo 1

a)

A partir da conservação de energia temos que:

- G M m R + 1 2 m v 2 = - G M m R + h

Isolando a velocidade:

1 2 v 2 = G M R - G M R + h

v 2 = 2 G M 1 R - 1 R + h

Fazendo o MMC:

v 2 = 2 G M R + h - R R 2 + R h

v = 2 G M h R 2 + R h

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Por conservação de energia:

1 2 m v 2 - G M m R = 0

Podemos deduzir a fórmula da velocidade de escape:

v e = 2 G M R

Na Terra:

v e T = 2 G M T R T

Calculando a velocidade de escape num planeta arbitrário:

v e P = 2 G   .   9 M T 4 R T

v e P = 9 G M T 2 R T

v e P = 3 2 G M T R T

Temos então que a razão é:

v e T v e P = 2 3

Resposta

a)

v = 2 G M h R 2 + R h

b)

v e T v e P = 2 3

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