Exercícios Resolvidos de Velocidade de Escape

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Enunciado

Um objeto com massa m em um dado instante se desloca com velocidade v a uma distância r do centro da terra de forma que r > RT . A velocidade do objeto é perpendicular à linha que liga o objeto ao centro da terra como indicado na figura abaixo. Considere RT o raio da terra, MT a massa da terra e que não há forças dissipativas. Analise se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.

( ) Se v = 3 G M T 2 r a interação gravitacional vai fazer com que o objeto mude sua direção de deslocamento e em seguida escape do campo gravitacional da Terra.

( ) Se v = 7 G M T 5 r o objeto orbita a Terra. Considere que ele não colide com a superfície da Terra.

( ) Se v = G M T r o objeto fica orbitando a Terra em uma órbita circular.

( ) Se v = 2 G M T r o objeto não escapa do campo gravitacional da Terra.

Indique a sequência correta de afirmações verdadeiras e falsas.

(a)V,F,V,V

(b) F,V,V,F

(c) F,F,V,F

(d) V,V,F,V

(e) F,V,F,F

(f) F,F,F,V

(g) V,V,F,F

(h) F,F,V,V

(h) F,F,F,F

(h) V,V,V,V

Passo 1

Então, o que tá acontecendo nesse problema? O objeto de massa m tá se deslocando a uma distância r da Terra, com uma velocidade v. Pra esse tipo de situação nós temos duas opções: ou o objeto começa a orbitar a terra, ou ele sai do campo gravitacional da terra.

Pro objeto sair do campo gravitacional da Terra, ele tem que ter uma energia cinética maior que a energia potencial da Terra.

A energia potencial da Terra a gente calcula:

U = - G m M T r

Não liga pra esse sinal de menos! Ele só tá aí pra indicar que em qualquer ponto do campo gravitacional a energia potencial gravitacional é menor do que a do infinito. Na prática nós vamos usar o módulo pra comparar.

E a energia cinética:

E = m v 2 2

Pro objeto parar de orbitar a Terra:

E ≥ U

m v 2 2 ≥ G m M T r

v ≥ 2 G M T r

Então se a velocidade for maior ou igual a esse valor aí, o objeto vai sair do campo gravitacional da Terra (não vai orbitar).

Show, então vamos analisar as afirmativas.

Passo 2

( ) Se v = 3 G M T 2 r a interação gravitacional vai fazer com que o objeto mude sua direção de deslocamento e em seguida escape do campo gravitacional da Terra.

Errado! Porque pro objeto sair do campo gravitacional da Terra, v deve ser no mínimo igual a 2 G M T r .

( ) Se v = 7 G M T 5 r o objeto orbita a Terra. Considere que ele não colide com a superfície da Terra.

Verdadeiro né? O objeto só escapa do campo gravitacional da Terra se v é maior ou igual a 2 G M T r . Então nesse caso, vai orbitar a Terra.

( ) Se v = G M T r o objeto fica orbitando a Terra em uma órbita circular.

Verdadeiro! Mesmo caso da anterior, porque G M T r é menor que a velocidade de escape.

( ) Se v = 2 G M T r o objeto não escapa do campo gravitacional da Terra.

Falso! Se v for igual a 2 G M T r o objeto já consegue escapar do campo gravitacional da terra.

Ficamos então com:

FVVF

Resposta

Letra B.

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