Exercícios Resolvidos de Vigas – Efeitos externos

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 206, 5/110

Uma viga em balanço sustenta a carga variável mostrada. Calcule a força de sustentação R A e o momento M A em A .

Passo 1

O diagrama de corpo livre desta viga fica assim:

A equação de w é dada por:

w = w 0 + k x 2

E esse k na equação? Temos que descobrir o seu valor.

Quando x = 0 temos que w = 500 , então vamos substituir isso na nossa equação:

500 = w 0 + k 0 2     →       w 0 = 500

Quando x = 6 temos que w = 900 , então:

900 = 500 + k 6 2     →     k = 11,1

Assim, a nossa equação fica:

w = 500 + 11,1 x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para achar a força de reação R A , temos que calcular a resultante R do carregamento distribuído. Para isso é só integrarmos a equação da curva ao longo do comprimento da viga:

R = ∫ 0 6 w d x = ∫ 0 6 500 + 11,1 x 2 d x

R = 500 x + 11,1 3 x 3 | 0 6

R = 3799,2   N

Agora sim podemos achar a força de sustentação R A fazendo o equilíbrio de forças verticais:

∑ F y = 0       →         R A - 3799,2 = 0

R A = 3799,2   N

Passo 3

Para calcular a coordenada x -   centróide do carregamento distribuído vamos usar:

x - = ∫ w x d x R

Assim:

∫ w x d x = ∫ 0 6 500 + 11,1 x 2 x d x = ∫ 0 6 500 x + 11,1 x 3 d x

∫ w x d x = 500 2 x 2 + 11,1 4 x 4 | 0 6

∫ w x d x = 12596,4   N ⋅ m

O R = 3799,2   N já sabemos que é:

x - = 12596,4 3799,2           →           x - = 3,31   m

Passo 4

Para achar o momento de reação no engaste, vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto A :

∑ M A = 0

Vamos considerar o sentido de giro anti-horário com positivo. E repare que o braço de alavanca da resultante R do carregamento distribuído é:

Então, o momento será:

M A - 3799,2 2,69 = 0       →       M A = 10219,8   N ⋅ m

Resposta

R A = 3799,2   N

M A = 10219,8   N ⋅ m

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