Área entre Curvas

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Teoria

O cálculo da área entre curvas é uma aplicação superimportante das integrais definidas! Bora conhecer!?

Como calcular a área entre duas curvas?

Como você calcularia a área hachurada na figura abaixo?

Área entre curvas: f(x) e g(x)
Área entre curvas: f(x) e g(x)

Podemos calcular essa área, fazendo a diferença entre a área sob a curva de cima, e a área sob a curva de baixo , dessa forma teríamos:

Que é o mesmo que:

E é assim que calculamos a área entre curvas, sem mistério!

Beleza, mas foi tudo muito rápido! Agora vamos entender com mais calma 😉

Pra isso se liga nesse vídeozinho super completo com tudo o que você precisa saber sobre como usar a integral para calcular áreas entre curvas 👇👇👇

📢 Clique para saber mais:

Agora, continua comigo num passo a passo iradoso!

Passo a passo para calcular a área entre duas curvas

Dessa vez, vamos calcular a área englobada pela seguinte função, no intervalo :

-Mas como assim, só tem uma curva?! 😵‍💫😵‍💫😵‍💫

Tem certeza?! Da uma olhadinha pro gráfico:

Gráfico do exemplo
Gráfico do exemplo

Uma parte do gráfico fica na parte negativa do eixo , então se resolvermos essa integral de uma forma tradicional, encontraremos a seguinte resposta:

-Ué? Mas como que minha área pode dar zero, tá certo isso?

Não! É exatamente aí onde entra a ideia de área entre curvas!

Se liga no pulo do gato! Nossas curvas vão ser:

Isso mesmo, o eixo vai ser a nossa segunda curva!

Bora pro nosso passo a passo então?!

Passo 1: Observar o comportamento das funções

Temos uma função de terceiro grau, então podemos assumir que ela tem no mínimo 3 raízes, e se todas forem reais, essa função cruza o eixo pelo menos 3 vezes.

Comportamento da função
Comportamento da função

Resolvendo a equação é possível, verificar que essas raízes são e . Como vemos no gráfico acima.

Passo 2: Reescrever as funções em uma função

Para descobrir a área, temos que calcular uma integral.

Show... Mas antes de sair calculando que nem um doido, observa que essa função, dentro do intervalo de está parte sobre o eixo , e parte sobre o eixo . Então para a calcular a área dentro deste intervalo, teremos que decompor a nossa integral original, em duas integrais cada uma representando uma das áreas, uma delas que está na parte positiva de e a outra que está na parte negativa de :

Gráfico: A1 e A2
Gráfico: A1 e A2

Então, ficamos com:

Na primeira parte da integral, a função esta em cima do eixo , então podemos calcular a normalmente.

Já pra calcular a área , usaremos a fórmula para calcular área entre curvas:

Substituindo:

Ficamos com:

Passo 3: Calcular a Integral

Nós sabemos que , então podemos escrever:

Agora o problema se resume em calcularmos essas duas integrais. Ambas são integrais polinomiais e são bem simples de resolver. Depois da atenção com os limites de integração, temos como resultado:

Agora sim, área total positiva, tudo calculado certinho!

Exercício: Determine a área da região , onde é a região limitada pela curva , pelo eixo , e pelas retas e .

A resolução desse exercício você encontra no vídeo abaixo 👇

Agora que você já aprendeu tudo sobre área entre curvas, bora treinar com mais exercícios?

Passo a passo para calcular a área entre duas curvas

Exercício: Determine a área da região , onde é a região limitada pela curva , pelo eixo , e pelas retas e .

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule a área da região compreendida entre o gráfico de

f x = x 3 1 - x 2

E o eixo x , com x ∈ 0 , 1 2

Passo 1

Po o primeiro passo é sempre tentar ver onde a curva está acima do eixo x e onde está abaixo! O legal é tentar esboçar o gráfico. Aqui é um pouco complicado fazer isso, mas sabemos que essa função só se anula onde o numerador for 0, ou seja, x = 0 .

Agora segue aqui comigo:

x < 0 → x 3 < 0

Então se x for negativo, f x < 0 . Agora se x for positivo, então f x > 0 . Então a gente pode pensar em algo assim:

Repara que o denominador não pode zerar, e nele também temos uma raíz quadrada. Então a função não existe para x ≥ 1 . Porém como nosso limite de integração superior é ½ , não vamos nos preocupar com isso.

Passo 2

Legal! Estamos vendo que a nossa área está acima do eixo x , então vamos usar a seguinte fórmula:

A = ∫ 0 1 2 f x d x = ∫ 0 1 2 x 3 1 - x 2 d x

Passo 3

Agora temos que resolver essa integral aí em cima. Essa integral sai por substituição trigonométrica, concorda? Vamos resolver a primitiva, voltar para x e aplicar os limites de integração:

∫ x 3 1 - x 2 d x

Bem, esse é o caso a 2 - x 2 , a = 1 .

Temos que fazer,

x = a ⋅ sen ⁡ θ = sen ⁡ θ

d x = cos ⁡ θ d θ

Substituindo na integral dada.

∫ s e n 3 θ 1 -   s e n 2   θ cos ⁡ θ d θ

= ∫ s e n 3 θ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= ∫ s e n 3 θ   d θ = ∫ s e n θ   s e n 2 θ   d θ

= ∫ s e n θ   ( 1 - cos 2 ⁡ θ )   d θ

Passo 4

Agora, usando a substituição

u = cos ⁡ θ

d u = - sen ⁡ θ d θ

Então a integral fica assim,

= -   ∫ 1 - u 2 d u  

= - u - u 3 3 = u 3 3 - u  

Voltando para θ :

∫ s e n 3 θ   d θ = cos 3 ⁡ θ 3 - c o s θ

Passo 5

Usando o triângulo retângulo para converter o θ na variável inicial:

c o s θ = 1 - x 2 a = 1 - x 2

Então temos que

∫ x 3 1 - x 2 d x = 1 - x 2 3 3 - 1 - x 2

Passo 6

Agora vamos aplicar os limites de integração:

A = ∫ 0 1 2 x 3 1 - x 2 d x = 1 - x 2 3 3 - 1 - x 2     0 1 2

A = 1 - 1 4 3 3 - 1 - 1 4 - 1 - 0 3 3 + 1 - 0

O que vai dar:

A = 3 2 3 3 - 3 2 - 1 3 + 1

A = 3 3 8 3 - 3 2 + 2 3 = 3 8 - 4 3 8 + 2 3

⇒ A = 2 3 - 3 3 8   u . a .

Resposta

A = 2 3 - 3 3 8   u . a .

Exercício Resolvido #2

Determine a área da região R , onde:

R é a região limitada pela curva y = x 3 + x , pelo eixo x e pelas retas x = - 2 e x = 1 .

Passo 1

Primeiro eu vou pegar essa função e abrir melhor com o x em evidência:

y = x ( x 2 + 1 )

Olha, o x tem raiz em 0 . Já o x 2 + 1 não tem nenhuma raiz e é sempre positivo. Ou seja, ao que parece essa função do terceiro grau só tem raiz em 0 e é negativa quando x é negativo e positiva quando ele é positivo. Essas informações já são suficientes para esboçar algo assim:

Passo 2

Olha lá uma parte em que y está acima do eixo x e outra que está abaixo. Então o que faremos? Vamos separar em duas regiões! A primeira está à esquerda do eixo y e vamos chamar de A 1 e a segunda, que está a direita, vamos chamar de A 2 . Portanto,

A T O T = A 1 + A 2

Passo 3

Primeiro vamos analisar a área A 1 . Nessa área y é menor que 0, então vamos fazer

A 1 = - ∫ - 2 0 y d x = - ∫ - 2 0 x 3 + x d x

A 1 = - x 4 4 + x 2 2 - 2 0 = - 2 4 4 + - 2 2 2 = 6

Passo 4

Agora para a área A 2 aquela que está à direita do eixo y , temos que a função é positiva. Então,

A 2 = ∫ 0 1 y d x = ∫ 0 1 x 3 + x d x

A 2 = x 4 4 + x 2 2 0 1 = 1 4 4 + 1 2 2 = 3 4

Passo 5

Agora a gente só precisa somar os dois resultados, ou seja

A T O T = A 1 + A 2 = 6 + 3 4 = 27 4

Resposta

A T O T = 27 4   u . a

Exercício Resolvido #3

Calcule a área delimitada entre as curvas:

y = 1 x         ;           y = x           ;           y = x 4           ;           x > 0

Passo 1

Vamos lá desenhando a região primeiro. Vou começar pelo y = 1 / x :

Bom, esse é o desenho base desse gráfico, que tem forma de hipérbole. Agora vou pensar em como encaixar os outros. Ora, tenho que ver aonde eles se interceptam! Primeiro o y = x :

y = x   vermelho         ;           y = 1 x   (azul)

x = 1 x       →           x 2 = 1       →           x = ± 1

Agora, eu vou botar o outro, o y = x / 4 :

y = x 4 verde         ;           y = 1 x (azul)

x 4 = 1 x       →           x 2 = 4       →           x = ± 2

Além de que ela toca a y = x quando x = 0 :

y = x   (vermelho)         ;           y = x 4 (verde)

x = x 4       →         3 x 4 = 0     →           x = 0

Então essa área entre os 3 gráficos está aí marcada com A . Lembrando que até teria uma outra área ali embaixo entre os gráficos, só que o cara especificou que x > 0 .

Então, a integral está rolando de 0 até 2 , sendo que até o 1 nós temos vermelho por cima e verde por baixo e a partir daí temos azul em cima e verde embaixo, ou seja:

∫ a b f cima - f baixo d x = ∫ 0 1 f Vermelho - f verde d x + ∫ 1 2 f azul - f verde d x

A = ∫ 0 1 x - x 4 d x + ∫ 1 2 1 x - x 4 d x

Passo 2

Agora vamos integrar!

∫ 0 1 x - x 4 d x = ∫ 0 1 3 x 4 d x = 3 x 2 8 [ 1 0 = 3 8

∫ 1 2 1 x - x 4 d x = ln ⁡ x - x 2 8 [ 2 1 = ln ⁡ 2 - 3 8

∫ 0 1 x - x 4 d x + ∫ 1 2 1 x - x 4 d x = 3 8 + ln ⁡ 2 - 3 8 = ln ⁡ 2

Resposta

A = ln ⁡ 2

Exercício Resolvido #4

Calcule a área delimitada entre as curvas:

y = 1 - x 2           ;           y = 1 + x 2           ;           y = - 3 x 2 + 2             ;         x = 1

Passo 1

Começamos desenhando as duas parábolas:

Ok, até aí sem muitos problemas. Agora que devemos encaixar aquela reta ali as devidas interseções. Bom, se você igualar esse gráfico ao gráfico da parábola superior, olha como fica:

  y = 1 + x 2 = - 3 x 2 + 2

x 2 + 3 x 2 - 1 = 0

x + 2 x - 1 2 = 0       →           x = - 2 ; x = 1 / 2

Bom, se eu adicionar ainda o gráfico x = 1 uma vertical paralela ao eixo y passando em x = 1 :

Já tenho ali a minha área definida, então.

Bom, agoraeu só preciso analisar o seguinte:

de 0 até 1 / 2 eu tenho a parábola de cima sobre a parábola de baixo

de 1 / 2 até 1 tenho a reta não vertical em cima da parábola de baixo. Assim:

A = ∫ a b f cima - f baixo d x

A = ∫ 0 1 / 2 f parábola de cima - f parábola de baixo d x + ∫ 1 / 2 1 f reta não vertical - f parábola de baixo d x

A = ∫ 0 1 2 1 + x 2 - 1 - x 2 d x + ∫ 1 2 1 - 3 x 2 + 2 - 1 - x 2 d x

Passo 2

Integrando uma de cada vez:

∫ 0 1 2 1 + x 2 - 1 - x 2 d x = ∫ 0 1 2 2 x 2 d x = 2 x 3 3 0 1 / 2 = 1 12

Passo 3

Agora a segunda parte

∫ 1 2 1 - 3 x 2 + 2 - 1 - x 2 d x = ∫ 1 2 1 - 3 x 2 + 1 + x 2 d x = - 3 x 2 4 + x + x 3 3 1 / 2 1

= - 3 / 4 + 1 + 1 3 - - 3 16 + 1 2 + 1 24 = 7 12 - 17 48 = 11 48

Passo 4

Juntando tudo

∫ 0 1 2 1 + x 2 - 1 - x 2 d x + ∫ 1 2 1 - 3 x 2 + 2 - 1 - x 2 d x = 1 12 + 11 48 = 15 48 = 5 16

Resposta

A = 5 16

Exercício Resolvido #5

Considere a região R delimitada pelas curvas y = x 3 e y = 2 x - x 2

( a ) Esboce a região R .

( b ) Calcule a área da região R .

Passo 1

( a ) Para esboçar vamos primeiro reparar que um gráfico é x 3 , que vem de - ∞ para x < 0 e depois explode para + ∞ , e o outro é 2 x - x 2 = x ( 2 - x ) , que tem raízes em 0 e 2 e tem concavidade para baixo, já que o termo que multiplica o x 2 é negativo. Vamos analisar a interseção dos gráficos:

x 3 = 2 x - x 2

x 3 + x 2 - 2 x = 0

x x 2 + x - 2 = 0

x x + 2 x - 1 = 0

x = - 2 ; x = 0 ; x = 1

Conluímos, assim, que a região R será dividida em dois pedaços, um de - 2 a 0 e outro de 0 até 1 . Vamos ao esboço:

A região R está pintada de verde.

Passo 2

( b ) Para calcular a área devemos montar uma integral com a diferença entre a função mais alta para a mais baixa. No intervalo [ - 2,0 ] a maior é a vermelha ( x 3 ) , em [ 0,1 ] a mais alta é a azul ( 2 x - x 2 ) :

A = ∫ - 2 0 x 3 - 2 x - x 2 d x + ∫ 0 1 2 x - x 2 - x 3 d x

= x 4 4 - x 2 + x 3 3 - 2 0 + x 2 - x 3 3 - x 4 4 0 1

0 4 - 0 + 0 3 - 16 4 - 4 + - 8 3 + 1 - 1 3 - 1 4 + 0 - 0 3 - 0 4

= 8 3 + 5 12

= 32 + 5 12

= 37 12

Resposta

a

b   A = 37 12   u n i d a d e s   d e   á r e a

Exercício Resolvido #6

Calcule a área delimitada entre as curvas:

y = cossec 2 ⁡ x           ;           y = 2 + cotg 2 ⁡ x           ;           1 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Vamos lá, existem gráficos que você precisa saber desenhar, como uma reta, parábola, seno, exponencial, etc.

Agora, existem os que você realmente não precisa, a exemplo desses dois aí em cima.

Nesses casos em que você não tem muita noção do que está se passando, você simplesmente escolhe um para ser sua f cima e outro para ser sua f baixo .

Vê se você consegue visualizar: dependendo da ordem que você escolher essas funções você vai chegar na área A ou em - A , se tiver escolhido a ordem contrária.

Dessa forma, só precisamos calcular em qualquer ordem e teremos como resultado o módulo da integral.

Bom, aquele 2 me faz parecer que essa é a função maior, então vou tentar colocar ela como f cima , mas tanto faz:

∫ a b [ f cima - f baixo ] d x = ∫ 1 2 [ 2 + cotg 2 ⁡ x - cossec 2 ⁡ x ] d x

Passo 2

Bom, vamos integrar.

∫ 1 2 [ 2 + cotg 2 ⁡ x - cossec 2 ⁡ x ] d x

PARA TUDO!

Parceiro, me diz se isso aqui tá valendo:

1 + cotg 2 ⁡ x = cossec 2 ⁡ x

Propriedade trigonométrica, né? Olha que bonito se eu fizer isso:

∫ 1 2 [ 1 + ( 1 + cotg 2 ⁡ x ) - cossec 2 ⁡ x ] d x = ∫ 1 2 [ 1 + ( cossec 2 ⁡ x ) - cossec 2 ⁡ x ] d x = ∫ 1 2 [ 1 ] d x

Caô? Tá de sacanagem? É, cara, o mundo é dos malandros:

∫ 1 2 [ 1 ] d x = 2 - 1 = 1

Achei um valor para integral. Como eu disse, a área é o módulo dela (que no caso vai ser o próprio 1 , já que é um valor positivo).

Resposta

A = 1

Exercício Resolvido #7

Seja R a região limitada entre y = x - x 2 e o eixo x . Encontre a equação da reta que passa pela origem e que divide R em duas subregiões com áreas iguais.

Passo 1

Ora, ora. Problema interessante...

Foi nos dada uma função parabólica (do 2º grau e com concavidade para baixo). Essa curva e o eixo x delimitam uma região R de área A . Vamos ver o seu gráfico?

Queremos achar a equação de uma reta que passa pela origem.

Uma reta vai ser

y = m x + p

Se ela passa na origem p = 0 , então

y = m x

No fundo, queremos calcular m para que a área seja dividida pela metade

Passo 2

Vamos esboçar o que o enunciado nos diz:

No desenho, foi desenhado uma reta genérica que corta y = x - x 2 .

OBS: Em problemas onde ainda não sabemos a equação de alguma curva, é muito útil esboçarmos uma situação genérica para essa curva e começar a fazer os cálculos a partir daí.

Igualando as equações, podemos achar os pontos de interseção:

x - x 2 = m x → x 1 - m - x = 0 → x = 0   ou   x = 1 - m

Logo, b = 1 - m .

Temos duas formas de prosseguir agora:

1. Dizendo que a área acima da reta é metade da área compreendida entre a parábola e o eixo x .

2. Dizendo que a área acima da reta é igual a área abaixo dela.

Vamos seguir a forma 1, já que a área abaixo da reta é mais difícil de ser calculada (ou teríamos que integrar em relação a y ou dividir em duas áreas).

Para isso é válido saber que a parábola intercepta x em 0 e 1 .

Passo 3

Igualando a área acima da reta à metade da área abaixo da parábola, temos:

∫ 0 1 - m [ ( x - x 2 ) - m x ]   d x = 1 2 ∫ 0 1 x - x 2   d x

1 2 x 2 - 1 3 x 3 - 1 2 m x 2 0 1 - m = 1 2 ⋅ 1 2 x 2 - 1 2 ⋅ 1 3 x 3 0 1

1 2 1 - m 2 - 1 3 1 - m 3 - 1 2 m 1 - m 2 - 0 = 1 4 - 1 6 - 0

Assim, chegamos a uma equação para m :

6 1 - m 2 - 4 1 - m 3 - 6 m 1 - m 2 = 1

1 - m 2 6 - 4 1 - m - 6 m = 1

1 - m 2 2 - 2 m = 1

1 - m 3 = 1 2

1 - m = 1 2 3

m = 1 - 1 2 3

Logo, a equação da reta é: y = 1 - 1 2 3 x

Resposta

y = 1 - 1 2 3 x

Exercício Resolvido #8

Calcule a área da região limitada pelas curvas y = x 2 + 1   e y = | 2 x | . Faça um esboço da região.

Passo 1

O enunciado nos dá duas curvas:

y = x 2 + 1

y = | 2 x |

O enunciado nos pede para esboçar a área limitada por essas curvas e calculá-la.

Para esboçar as curvas, vamos, primeiro entender melhor as funções dadas:

y = x 2 + 1 → y 2 = x 2 + 1 → y 2 - x 2 = 1

Isso é uma hipérbole. O gráfico vai ser algo assim

Mas repara que o y é uma raiz quadrada, isso nos diz que ele é positivo, então vamos pegar só a parte de cima.

Passo 2

Agora vamos fazer 2 x

2 x = 2 x ,     x ≥ 0 - 2 x ,             x ≤ 0

Ela vai ficar

Agora que já podemos esboçar as funções, o próximo passo é igualar as suas equações para acharmos os pontos que elas se interceptam.

Depois, calcularemos a área da região limitada por elas através de integrais.

A nossa área vai ficar então

Entre o verde e o rosa.

Passo 3

Igualando as funções:

x 2 + 1 = 2 x → x 2 + 1 = 4 x 2 → 3 x 2 - 1 = 0

x 1 = 1 3 ,       x 2 = - 1 3

Esboço da região R :

Pela simetria, podemos dizer que a área de R é:

2 ∫ 0 1 3 x 2 + 1 - 2 x d x = 2 ∫ 0 1 3 x 2 + 1   d x - 2 x 2 0 1 3 =

= 2 ∫ 0 1 3 x 2 + 1   d x - 2 3

Passo 4

Vamos calcular a integral: ∫ 0 1 3 x 2 + 1 d x .

Como aparece a expressão x 2 + a 2 , vamos tentar a substituição trigonométrica:

x = tg ⁡ θ ,     d x = sec 2 ⁡ θ d θ         - π 2 ≤ θ ≤ π 2

Mudando os limites de integração:

x = 0 → tg ⁡ θ = 0 → θ = 0

x = 1 3 = 3 3 → tg ⁡ θ = 3 3 → θ = π 6

Aplicando:

∫ 0 π 6 tg 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 6 sec 2 ⁡ θ ⋅ sec 2 ⁡ θ d θ =

= ∫ 0 π 6 sec 3 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 6 1 + tg 2 ⁡ θ ⋅ sec ⁡ θ d θ =

= ∫ 0 π 6 sec ⁡ θ d θ + ∫ 0 π 6 tg 2 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Passo 5

Resolvendo a segunda integral por partes:

u = tg ⁡ θ → d u = sec 2 ⁡ θ d θ

d v = tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ → v = sec ⁡ θ

∫ 0 π 6 sec 3 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 6 sec ⁡ θ d θ + tg ⁡ θ sec ⁡ θ 0 π 6 - ∫ 0 π 6 sec 3 ⁡ θ d θ

Calculando:

∫ 0 π 6 sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 ln ⁡ | tg ⁡ θ + sec ⁡ θ | + tg ⁡ θ sec ⁡ θ 0 π 6 =

= 1 2 ln ⁡ 3 3 + 2 3 + 3 3 ⋅ 2 3 - 0 + 0 = 1 2 ln ⁡ 3 + 1 3

Substituindo na expressão inicial:

2 ∫ 0 1 3 x 2 + 1 d x - 2 3 =

= ln ⁡ 3 + 2 3 - 2 3 = ln ⁡ ( 3 1 2 ) = 1 2 ln ⁡ ( 3 )

OBS:

Nesse problema, o enunciado nos pediu explicitamente que teríamos que esboçar a região entre as curvas. Portanto, para fazer isso, tivemos que usar conceitos de derivada primeira e derivada segunda para acharmos a concavidade, ponto de mínimo, etc.

É bom estar com esses conceito frescos na hora da prova. Além disso, é bom saber equações de algumas curvas conhecidas:

y = a x + b   ( reta )

y = a x 2 + b x + c   parábola

x - a 2 + y - b 2 = r 2   ( círculo )

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1   ( elipse )

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1   ( hipérbole )

Resposta

A área é da região é igual a 1 2 ln ⁡ ( 3 ) .

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