Exercícios Resolvidos de Análise da Multiplicação de Matrizes

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Enunciado

Deseja-se construir uma matriz M de forma que o produto C = M A seja uma matriz 3 × 3 satisfazendo as condições abaixo, qualquer que seja a matriz A 2 × 3 .

i .   A primeira linha de C deve ser igual à soma das linhas de A .

i i .   A segunda linha de C deve ser igual à diferença entre as linhas de A e

i i i .   A terceira linha de C deve ser igual ao triplo da primeira linha de A menos o dobro da segunda linha de A .

Qual é a soma de todos os elementos da matriz M ?

a   1

b   4

c   3

d   6

Passo 1

Queremos que C = M A . A primeira coisa que temos que fazer é descobrir as dimensões de M ! As dimensões de C e A já foram dadas, então:

C 3 ⏞ × 3 = M m ⏞ × n ⏟ A 2 ⏟ × 3

Dessa forma, temos que n = 2 e m = 3 , então nossa matriz M é 3 × 2 .

Passo 2

Agora temos que definir os elementos de M de modo que as condições que ele deu sejam satisfeitas. Nesse problema é mais conveniente vermos a multiplicação de matrizes como uma combinação das linhas de A ao invés de uma combinação das colunas de M ! Lembre-se que também podemos fazer o produto de matrizes assim:

M A = a b c d e f ← v 1 → ← v 2 → = a v 1 + b v 2 c v 1 + d v 2 e v 1 + f v 2

Talvez tenha ficado meio difícil de enxergar, mas o que fizemos foi combinar as linhas de A usando os elementos das linhas de M como coeficientes!

Passo 3

Beleza, agora podemos dar uma olhada nas condições:

i .   A primeira linha de C deve ser igual à soma das linhas de A .

A primeira linha de C como podemos ver é dada por:

a v 1 + b v 2

E queremos que seja igual à soma das linhas de A :

v 1 + v 2

Logo, temos que a = b = 1 .

Passo 4

i i .   A segunda linha de C deve ser igual à diferença entre as linhas de A

A segunda linha de C é assim:

c v 1 + d v 2

E queremos que fique assim:

v 1 - v 2

Logo, basta que c = 1 e d = - 1 .

Passo 5

i i i .   A terceira linha de C deve ser igual ao triplo da primeira linha de A menos o dobro da segunda linha de A .

A terceira linha de C é dada por:

e v 1 + f v 2

E a condição diz que tem que ser assim:

3 v 1 - 2 v 2

Então temos que e = 3 e f = - 2

Passo 6

Agora substituímos isso tudo em M :

M = a b c d e f = 1 1 1 - 1 3 - 2

Somando todos os elementos da matriz:

1 + 1 + 1 - 1 + 3 - 2 = 3

Resposta

Letra c

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