Exercícios Resolvidos de Análise da Multiplicação de Matrizes

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Enunciado

Seja C uma matriz 3 × 2   tal que o sistema C x → = 0 → tem solução única. Considere as afirmações.

(I) É possível que C seja um produto de matrizes C = AB onde A é 3 × 4   e B é 4 × 2 .

(II) É possível que C seja um produto de matrizes C = AB onde A é 3 × 1   e B é 1 × 2 .

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

Primeiro, vamos ver o seguinte: foi dado pra gente um sistema homogêneo C x → = 0 → , onde C é 3 × 2 .

E foi dito que ele só tem uma solução.

Então isso significa que ele só tem a solução trivial, certo?

Mas isso também significa que as 2 colunas dessa matriz C (que estão no R 3 ) são LI, ou seja, uma não é múltipla da outra.

Nosso sistema é:

C x → = 0 →

Se C for um produto AB:

A B x → = 0 →

Então eu posso ver as colunas de C como uma combinação linear das colunas de A, com pesos dados pelas entradas das colunas de B.

E porque eu tô lembrando disso?

Vamos ver as afirmações.

Passo 2

(I) É possível que C seja um produto de matrizes C = AB onde A é 3 × 4   e B é 4 × 2 .

Se A for uma matriz 3 × 4 da forma:

Onde as estrelinhas podem representar números diferentes.

E fizermos combinações lineares das colunas, podemos ter combinações lineares distintas de vetores resultando em vetores distintos para as colunas de C, que então não serão múltiplas entre si.

Dessa forma, as colunas de C vão ser LI e o sistema homogêneo só vai ter a solução trivial.

Como essa situação é possível, a afirmação (I) é verdadeira.

Passo 3

(II) É possível que C seja um produto de matrizes C = AB onde A é 3 × 1   e B é 1 × 2 .

Se A for da forma:

Quando fizermos o produto AB como combinações lineares das colunas de A, vamos estar fazendo multiplicações de um mesmo vetor.

Desse jeito, as colunas de C vão ser múltiplas uma da outra e vão ser LD.

Então não vai ser possível que o sistema C x → = 0 → só tenha a solução trivial.

Por isso a afirmação (II) é falsa.

Resposta

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

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