Exercícios Resolvidos de Análise da Multiplicação de Matrizes

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Enunciado

Seja A uma matriz 3 × 2 . Deseja-se construir uma matriz M de forma que o produto C = M A seja uma matriz 3 × 2 satisfazendo:

i . A primeira linha de C é igual à metade da soma de todas as linhas de A ;

i i . A segunda linha de C é igual à metade da diferença entre as duas últimas linhas de A ;

i i i . A terceira linha de C é igual à primeira linha de A ;

Qual a soma de todos os elementos da matriz M ?

a 0

b 1 2

c 3 2

d 5 2

Passo 1

Antes de mais nada vamos nos organizar!!

Primeiro vamos ver o tamanho de M . Temos o seguinte:

C 3 × 2 = M m × n ∙ A 3 × 2

Assim, para que o produto seja possível, precisamos que o número de colunas de M seja igual ao número de linhas de   A , logo n = 3 .

Como C   terá o número de linhas de M e o número de colunas de A , para que C seja 3 × 2 precisamos que m = 3 .

Entãojá sabemos que M é uma matriz 3 × 3 . Beleza?!

Passo 2

Normalmente nós faríamos o produto C = M ∙ A combinando as colunas de M usando os elementos das colunas de A como coeficientes, mas esse método não serve pra nada aqui!!

Por sorte, também sabemos que o produto M ∙ A pode ser entendido como uma combinação das linhas de A usando os elementos das linhas de M como coeficientes! Esse é o tipo de questão que fica muuuuito mais fácil de resolver sabendo isso, como eu comentei na teoria haha. Vamos lá então:

i .   O enunciado nos diz que a primeira linha de C é igual à metade da soma de todas as linhas de A .

Então a primeira linha de M tem que somar metade de todas as linhas de A , logo todos os elementos dessa linha vão ser 1 2 :

M = 1 2 1 2 1 2 * * * * * *

Passo 3

i i . A segunda linha de C é igual à metade da diferença entre as duas últimas linhas de A .

Portanto, a segunda linha de M tem que fazer a diferença das metades das duas últimas linhas de A . Beleza?! O primeiro elemento dessa linha será nulo pois ele acompanha a primeira linha de A na combinação, assim:

M = 1 2 1 2 1 2 0 1 2 - 1 2 * * *

Passo 4

i i i . A terceira linha de C é igual à primeira linha de A .

Nesse caso teremos que zerar os 2 últimos elementos dessa linha, pois remetem a segunda e terceira linha de A . Então a terceira linha de M é:

M = 1 2 1 2 1 2 0 1 2 - 1 2 1 0 0

Passo 5

Queremos a soma de todos os elementos da matriz M , então é só somar todos os elementos de M hahahahahaha:

1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 - 1 2 + 1 = 5 2

Resposta

Letra ( d )

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