Exercícios Resolvidos de Aplicações com TVM

12) Seja P uma função polinomial não constante.

b) Se P tem três raízes distintas em a ,   b , prove que P ' ' c = 0 , para algum valor c ∈ a ,   b .

Passo 1

Cara, eu sei que exercícios como esse é muuuuuito confuso. Eu particularmente já me confundi muito. Mas aprendi uma técnica que me ajudou muito e vai te ajudar também! Então simbora!

A técnica é uma velha amiga nossa, o esboço. Desenhar em um gráfico o que está sendo falado. Então venha comigo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Cara, imagina que existe uma função que zera em três pontos consecutivos x 1 , x 2 e x 3 . dessa forma aqui:

Tá vendo que existem dois pontos onde a derivada (reta tangente à curva) fica paralelo ao x ? Isso significa que a derivada se anulou. Então entre x 1 e x 2 existe um ponto c 1 onde a derivada se anula

P ' c 1 = 0

E entre x 2 e x 3 , existe outro ponto c 2 , onde a derivada também se anula:

P ' c 2 = 0

Passo 3

Bem, o que queremos provar é que no intervalo de entre a ,   b , existe um c tal que a derivada segunda se anula, ou seja, que a curva troca de concavidade. Pelo desenho isso acontece, mas para provar isso, basta usar o Teorema de Rolle:

P ' ' c = P ' c 1 - P ' c 2

P ' ' c = 0 - 0

P ' ' c = 0

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