Exercícios Resolvidos de Aplicações com TVM

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Enunciado

Mostre que f x = x 2 - x . sin ⁡ x - cos ⁡ x tem exatamente duas raízes reais e localize-as em intervalos de amplitude máxima π 2

Passo 1

Verificar a paridade da função

As vezes, quando temos funções com caras muito feias e muito grandes, é interessante a gente verificar se a função é par ou ímpar, porque, dessa forma, vamos poder usar a simetria da função pra tirar algumas conclusões. Então da uma olhada:

x 2 = f u n ç ã o   p a r

x . sin ⁡ x = p r o d u t o   d e   f u n ç õ e s   í m p a r e s = f u n ç ã o   p a r

cos ⁡ x = f u n ç ã o   p a r

Opa, então f x é uma soma de funções pares! Se é o caso, então da pra afirmar que f x é par também. Mas, se não acredita, podemos provar fazendo:

f x = f - x

f - x =   - x 2 - - x . sin ⁡ - x - cos ⁡ - x

f - x =   x 2 + x . - sin ⁡ x - cos ⁡ x

f - x = x 2 - x . sin ⁡ x - cos ⁡ x = f x

Então vamos analisar essa função para x ≥ 0 e extender os resultados pra x < 0 pra facilitar. Afinal, funções pares são simétricas em relação ao eixo y !

Passo 2

Encontrar as raízes para valores de x interessantes à função

Essa parte pode ser um pouco mais complicada. Aqui, vamos precisar lembrar do Teorema do Valor Intermediário: seja f uma função contínua em um intervalo fechado a , b , tal que f b > 0 e f a < 0 , existirá então um c   ∈ a , b tal que f c = 0 . A dificuldade vai estar em achar valores ideais de a e b .

Show de bola, agora que lembramos, vamos sugerir valores de a e b . Como estamos considerando somente x ≥ 0 e o enunciado pede um intervalo de amplitude π 2 , vamos escolher:

a , b = 0 , π 2

f 0 = x 2 - 0 . sin ⁡ 0 - cos ⁡ 0 =   - 1

f π 2 = π 2 2 - π 2 . sin ⁡ π 2 - cos ⁡ π 2 = π 2 - 2 π 4 ≅ 0,9

Opa, olha os sinais dos resultados! Como:

f 0 < 0

f π 2 > 0

Então existe pelo menos uma raíz dentro do intervalo 0 , π 2 . E sendo a função f x par, existirá também pelo menos uma raiz dentro do intervalo - π 2 , 0 .

Passo 3

Provar que a raiz é única

Ok, sabemos um intervalo onde pelo menos uma raiz de f x existe, mas será que ela é a única? Poderia ser o caso em que um x ' > π 2 faça f x ' = 0 acontecer também. Só que repara só: se a raiz for única, então a função jamais “descerá” novamente para encontrar a reta y = 0 depois de ter passado dela a primeira vez. Ou seja, se:

f x = c r e s c e n t e ;     ∀ x > 0

Então f c = 0 é uma raiz única. Beleza, falta só agora provar isso. Lembra do teste da primeira derivada? Então, vamos usar ele aqui agora:

f ' x > 0   ;     ∀ x > 0

Isso é o mesmo que dizer que a inclinação da reta tangente é sempre positiva. Vamos derivar então e ver se isso é verdade:

f ' x = x 2 - x . sin ⁡ x - cos ⁡ x '

f ' x = 2 x - x . cos ⁡ x - sin ⁡ x + sin ⁡ x

f ' x = 2 x - x . cos ⁡ x

E como f ' x > 0 , vamos ter que:

2 x - x . cos ⁡ x > 0

x . cos ⁡ x < 2 x

cos ⁡ x < 2

Opa, tai! Até ontem pelo menos, o menor valor que cos ⁡ x assume é 1 . Então pra qualquer x , a última inequação vai ser verdade.

Perfeito, ta provado que pra x > 0 , f x é crescente. Como a função é par, então pra x < 0 , a função é decrescente e passa, também, somente uma vez pela reta y = 0

Resposta

f x possui somente duas raízes, localizadas entre - π 2 , 0 e 0 , π 2 .

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