Exercícios Resolvidos de Aplicações com TVM

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Enunciado

Passaram-se 14 s desde que um termômetro de mercúrio foi retirado do congelador que estava a - 19 º c de temperatura e colocado em água fervente a 100 º c . Demonstre que em algum lugar do trajeto a coluna de mercúrio estava subindo a uma taxa de 8,5 º c / s .

Passo 1

Antes de tudo o que é estar “subindo a uma taxa de 8,5 º c / s ”? Isso diz que a temperatura varia a uma taxa de 8,5 º c / s , ou seja, queremos mostrar que, em algum momento do processo a derivada da temperatura foi:

f ' c = 8,5 º c / s

Passo 2

Passaram-se 14 s durante o processo. Assim, considerando que começou no tempo zero e terminou no tempo t = 14 :

Δ t = 14 = 14 - 0

Agora, a temperatura em t = 0 era de - 19 º c , logo:

f 0 = - 19

No final, o termômetro acabou fritado, coitado:

f 14 = 100

A taxa de variação média da função foi:

Δ f t Δ t = f 14 - f ( 0 ) 14 - 0 = 100 + 19 14 = 119 14 = 8,5 º c

Passo 3

Putz, jovem. A variação média da função é 8,5 º c que é justamente o valor que queremos mostrar que a derivada assume em algum momento. E qual teorema mostra que a derivada de uma função assume a taxa de variação média da função em algum momento? Hein? Hein?! Rufem os tambores!

É ele, o Teorema do valor médio. Então vamos aplicá-lo. Ele diz que existe c pertencente a ( 14,0 ) tal que a derivada é igual à taxa de variação média no intervalo:

f ' c = f 14 - f ( 0 ) 14 - 0 = 8,5 º c

Pronto! Está provado.

Então, fique atento! Quando a questão pedir para você mostrar que a derivada assume determinado valor num intervalo, aplique o TVM, se f ’ ( c ) der o valor que está sendo pedido, tá provado!

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