Exercícios Resolvidos de Aplicações com TVM

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Enunciado

Utilizando o teorema do Valor Médio, prove que a função f abaixo é descontínua no intervalo [ - 1 ,   1 ] .

f x = 1 x

Passo 1

Aplicando o Teorema:

f ' c = f 1 - f - 1 1 - - 1

Temos que:

f 1 - f - 1 = 1 1 - 1 - 1 = 2

Substituindo:

f ' c = 2 2 = 1

Passo 2

-

Agora, encontramos a derivada de f a partir da função para achar f ’ ( c ) e substituir na equação acima:

f ' x = x - 1 ' ⟹ f ' x = - 1 × x - 1 - 1 ⟹ f ' x = - x - 2 = - 1 x 2

No ponto x = c :

f ' c = - 1 c 2

Igualando a equação que veio do TVM com essa:

- 1 c 2 = 1

c 2 = - 1

Olha só! Não existe um número c real que satisfaz o teorema. A conclusão é que f não pode ser contínua no intervalo [ - 1 ,   1 ] . Lembre-se disso, hein?! Se não houver solução para c , então a função é descontínua no intervalo!

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