Exercícios Resolvidos de Aplicações com TVM

UFRJ - Cálculo 1 - P1 2015.1 – 4

Considere a função f x = x x + 1 x + 2 x + 3 . Mostre que a equação f ' x = 0 possui exatamente três raízes reais distintas.

Passo 1

Novamente, temos que mostrar que há raiz de f ' , mas agora está pedindo não somente uma, mas EXATAMENTE TRÊS. Vamos fazer o seguinte. Vamos achando essas raízes primeiro:

Observando a expressão de f ( x ) , é notável que temos 4 raízes:

f x = x x + 1 x + 2 x + 3

Que são x = 0 , x = - 1 , x = - 2 e x = - 3 , pois esses valores zeram a função:

f 0 = 0 1 2 3 = 0

f - 1 = - 1 0 1 2 = 0

f - 2 = - 2 - 1 0 1 = 0

f - 3 = - 3 - 2 - 1 0 = 0

Para mostrar as raízes na derivada, escolhemos duas raízes para o intervalo do TVM.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando com ( - 1,0 ) :

f ' c 1 = f 0 - f ( - 1 ) 0 - ( - 1 ) = 0 - 0 1 = 0

Assim, pelo TVM, existe c 1 pertencente a ( - 1,0 ) que é raiz de f . Mostramos que há uma raiz, para mostrar a outra, escolhemos o intervalo seguinte de raízes, ou seja, ( - 2 , - 1 ) :

f ' c 2 = f - 1 - f ( - 2 ) - 1 - ( - 2 ) = 0 - 0 1 = 0

Assim, pelo TVM, existe c 2 pertencente a ( - 2 , - 1 ) que é raiz de f . Mostramos que há duas raízes, para mostrar a última que o problema pede, escolhemos o intervalo seguinte de raízes, ou seja, ( - 3 , - 2 ) :

f ' c 3 = f - 2 - f ( - 3 ) - 2 - ( - 3 ) = 0 - 0 1 = 0

Assim, pelo TVM, existe c 3 pertencente a ( - 3 , - 2 ) que é raiz de f . Legal, mostramos a que há três raízes para f .

Passo 3

Está pensando que acabou? Nan Nan Não! Você tem que ter muito cuidado aqui. O problema não pediu somente para mostrar que existem três raízes para f , pediu para mostrar que existe EXATAMENTE três raízes para f , ou seja, temos que mostrar que não pode existir mais nenhuma. Essa última é mais fácil do que parece.

f x = x x + 1 x + 2 x + 3

É um polinômio de grau 4 que tem no máximo 4 raízes reais. Toda vez que derivamos um polinômio, ele cai um grau, ou seja, f ' é um polinômio de grau 3 , que terá no máximo 3 raízes reais. Pronto, é isso!

Resposta

Temos uma raiz c 1 - 1,0 , outra c 2 - 2 , - 1 e outra c 3 - 3 , - 2 .

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