Exercícios Resolvidos de Aplicações com TVM

4) O número de soluções reais da equação 7 x 5 + 8 x + 4 = 0 é:

  1. 1
  2. 0
  3. 3
  4. 5

Passo 1

Essa é uma questão um tanto quanto interessante e a gente tem que pensar um pouco.

Bem, se igualarmos essa expressão do lado direito a uma f x ...

f x = 7 x 5 + 8 x + 4

O que queremos é saber é qual é a quantidade de zeros essa função possui. Se derivarmos e igualar a 0 , vamos estar achando os prováveis pontos de máximos e mínimos dessa função...

f ' x = 35 x 4 + 8

Igualando a 0 ...

35 x 4 + 8 = 0     →         35 x 4 = - 8         →

x 4 = - 8 35

Epa! Não existe x real que satisfaça essa igualdade, então não existe pontos de máximo ou mínimo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então agora pensa comigo: não existir pontos de máximo ou de mínimo, significa que a função só cresce ou só decrescemte, certo? Analisando o sinal da primeira derivada...

f ' x = 35 x 4 + 8

Para qualquer x , esse valor é sempre positivo, então...

f ' x > 0       →             f u n ç ã o   c r e s c e n t e

E se você fizer o limite da função indo ao infinito negativo...

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 7 x 5 + 8 x + 4 = - ∞

Enquanto que se fizermos ao infinito positivo...

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 7 x 5 + 8 x + 4 = + ∞

Pow, se a função tem valores negativos, depois valores positivos, isso significa que ela tem pelo menos uma raiz. Como ela é sempre crescente, não tem como dela ter mais raízes. Se ela tiver mais de uma raiz, ela tem que ser decrescente alguma vez para atravessar o eixo x novamente, saca?

Resposta

  1. 1

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